Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta AMB,\Delta AMC$ có:

Chung $AM$

$MB=MC$ vì $M$ là trung điểm $BC$

$AB=AC$ vì $\Delta ABC$ cân tại $A$

$\to \Delta ABM=\Delta ACM(c.c.c)$

$\to \widehat{BAM}=\widehat{MAC},\widehat{AMB}=\widehat{AMC}$

Vì $ \widehat{BAM}=\widehat{MAC}\to AM$ là phân giác $\widehat{BAC}$

Mà $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=\widehat{BMC}=180^o\to \widehat{AMB}=\widehat{AMC}=90^o$

$\to AM\perp BC$

b.Ta có $M$ là trung điểm $BC\to MB=MC=\dfrac12BC=3$

Mà $AM\perp BC\to AB^2=AM^2+MB^2\to AM^2=AB^2-MB^2=91$

$\to AM=\sqrt{91}$

$\to P_{ABM}=AB+BM+MA=13+\sqrt{91}$

c.Ta có $H,K$ là trung điểm $AB,AC$

$\to AH=\dfrac12AB=\dfrac12AC=AK$

$\to\Delta AHK$ cân tại $A$

$\to \widehat{AHK}=90^o-\dfrac12\hat A=\widehat{ABC}$

$\to HK//BC$

d.Ta có $\Delta AHK$ cân tại $A, I$ là trung điểm $HK$

$\to AI$ là phân giác $\widehat{HAK}$

$\to AI$ là phân giác $\widehat{BAC}$

Mà $AM$ là phân giác $\widehat{BAC}$

$\to I\in AM$

$\to A,I,M$ thẳng hàng

e.Xét $\Delta AKH,\Delta CKN$ có:

$KA=KC$ vì $K$ là trung điểm $AC$

$\widehat{AKH}=\widehat{CKN}$

$KH=KN$

$\to\Delta AKH=\Delta CKN(c.g.c)$

$\to CN=AH,\widehat{KAH}=\widehat{KCN}\to AH//CN\to CN//AB$

Mà $HA=HB\to CN=HB$

f.Xét $\Delta HNC,\Delta CHB$ có:

Chung $HC$

$\widehat{BHC}=\widehat{HCN}$ vì $CN//AB$

$CN=HB$

$\to \Delta BCH=\Delta NHC(c.g.c)$

$\to HN=BC$

$\to HK+KN=BM+MC$

$\to 2HK=2BM$

$\to HK=BM$

g.Xét $\Delta AKN,\Delta CKH$ có:

$KA=KC$

$\widehat{AKN}=\widehat{HKC}$ 

$KN=KH$

$\to\Delta AKN=\Delta CKH(c.g.c)$

$\to AN=CH, \widehat{KAN}=\widehat{KCH}\to AN//CH$

h.Để $\Delta AMH$ vuông cân

$\to \widehat{HAM}=\widehat{HMA}=45^o$

$\to \widehat{BAC}=2\widehat{BAM}=90^o$

$\to\Delta ABC$ vuông cân tại $A$

i.Để $\Delta AHK$ đều

$\to \widehat{HAK}=60^o$ vì $\Delta AHK$ cân tại $A$

$\to \widehat{BAC}=60^o$

$\to\Delta ABC$ đều