a) Xét `ΔAHM` và `ΔBMN` có:

AM = MN (gt)

`∠AMH = ∠BMN` (2 góc đối đỉnh)

BM = HM  (vì M là trung điểm của BH)

`=> ΔAHM = ΔNBM (c.g.c)`

`=> ∠MBN = ∠AHM = 90^o`

`=> NB ⊥ BC`   (đpcm)

b) Ta có: `ΔAHM = ΔNBM` (định lí)

`=> ∠BNM = ∠HAM` (2 góc tương ứng)

      `AH = BN` (2 cạnh tương ứng)

Vì `∠AMB` là góc ngoài của `Δ AHM` nên: `∠AMB = 90^o + ∠HAM` > 90^o`

Xét `ΔABM` có `∠AMB` là góc tù

`=> AB > AM`

Mà `AM > AH` (vì `ΔAHM` vuông tại H)

`=> AB > AH`

Mà AH = BN (cmt) `=> AB > BN`

c) Xét `ΔABN` có: AB > BN

`=> ∠ANB > ∠BAN (cmt)`

Lại có: `∠ANB = ∠HAM` (vì `ΔAHM = ΔNBM`)

`=> ∠HAM > ∠BAN` hay `∠HAM > ∠BAM`

Vậy `∠HAM > ∠BAM`.

Xét `ΔABC` cân tại A có AH là đường cao

`=> AH` là đường cao đồng thời là đường trung tuyến

`=> BH = CH`

`=> HM = 1/2BH = 1/2CH`

Xét `ΔACN` có: `HM = 1/2CH` và CM là đường trung tuyến

`=> H` là trọng tâm của `ΔACN`

Mà AI là đường trung tuyến

`=> 3` điểm A, H, I thẳng hàng   (đpcm)

Đáp án:

`a,`

Xét `ΔAMH` và `ΔNMB` có :

`hat{AMH} = hat{NMB}` (2 góc đối đỉnh)

`BM = MH` (Vì `M` là trung điểm của `BH`)

`MA = MN` (giả thiết)

`-> ΔAMH = ΔNMB` (cạnh - góc - cạnh)

$\\$

$\\$

$b,$

Vì `ΔAMH = ΔNMB` (chứng minh trên)

`-> AH = NB` (2 cạnh tương ứng)

$\\$

Xét `ΔAHB` vuông tại `H` có :

`AB` là cạnh lớn nhất

`-> AB > AH`

mà `AH = NB`

`-> NB < AB`

$\\$

$\\$

$c,$

Vì `ΔAMH = ΔNMB` (chứng minh trên)

`-> hat{MAH} =hat{BNM}` (2 góc tương ứng)

$\\$

Xét `ΔABN` co :

`NB < AB`

Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh có :

`hat{BAM} < hat{BNM}`

mà `hat{MAH} = hat{BNM}`

`-> hat{BAM} < hat{MAH}`

$\\$

$\\$

$c,$

Vì `M` là trung điểm của `BH`

`-> MH = 1/2 BH`

Vì `ΔABC` cân tại `A`

`AH` là đường cao

`-> AH` là đường trung tuyến

`-> H` là trung điểm của `BC`

`-> BH = CH`

mà `MH = 1/2 BH`

`-> MH = 1/2 CH`

$\\$

Xét `ΔACN` có :

`CM` là đường trung tuyến

`MH = 1/2 CH`

`-> H` là trọng tâm của `ΔANC`

mà `AI` là đường trung tuyến

`-> AI` đi qua `H`

`-> A,H,I` thẳng hàng