a) Xét $∆ABC$ cân tại $A$ có $AH$ là đường cao xuất phát từ đỉnh $A$

$\Rightarrow AH$ cũng là trung tuyến ứng với cạnh $BC$

Hay $BH = HC$

Xét $∆ABH$ và $∆ACH$ có:

$\widehat{AHB}=\widehat{AHC}$

$AH:$ cạnh chung

$BH = HC\quad (cmt)$

Do đó $∆ABH=∆ACH$ (hai cạnh góc vuông)

b) $BH = \dfrac{BC}{2}= 6\ cm$

Áp dụng đinh lý Pytago vào tam giác vuông $ABH$ ta tính được $AH=8\ cm$

c) Ta có $HE // AC\quad (gt)$

$\Rightarrow \widehat{ BHE }= \widehat{BCA}$ (đồng vị)

Mà $\widehat{B} = \widehat{C}\quad (∆ABC$ cân tại $A)$

Nên $\widehat{B}= \widehat{BHE}$

$\Rightarrow ∆BHE$ cân tại $E$

Hay $BE = HE \quad (1)$

Ta lại có $BH = HC$ và $EH // BC$

Nên $BE = EA$ (tính chất đường trung bình) $(2)$

Từ $(1)(2) \Rightarrow EH = EA$

Hay $∆EAH$ cân tại $E$

d) Trong $∆ABH$ có $AE = EB; \ AF = HF$

$\Rightarrow \begin{cases}EF // BH\\ EF = \dfrac{BH}{2} = \dfrac{BC}{4}\end{cases}$ (tính chất đường trung bình)

Xét $∆BHF$ vuông tại $H$, ta có

$BF > BH$ (cạnh huyền > cạnh góc vuông)

Nên $BF > \dfrac{BC}{2}$

Ta được $BF + EH > \dfrac{BC}{2} + \dfrac{BC}{4} = \dfrac{3BC}{4}$

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a) Xét ∆ABC cân tại A có AH là đường cao xuất phát từ đỉnh A

Suy AH cũng là trung tuyến ứng với cạnh BC của ∆ABC

Hay BH = HC

Xét hai tam giác vuông ABH và ACH có:

AH cạnh chung

BH = HC

Do đó hai tam giác trên bằng nhau (hai cạnh góc vuông)

b) BH = BC/2 = 6cm

Áp dụng đinh lý Pytago vào tam giác vuông ABH ta tính được AH=8cm

c) Ta có HE // AC (gt)

Nen góc BHE = góc BCA (đồng vị)

Mà Góc B = góc C (∆ABC cân tại A)

Nên góc B = góc BHE

Suy ra ∆BHE cân tại E

Hay BE = HE (1)

Ta lại có BH = HC và EH // BC

Nên BE = EA (tính chất đường trung bình) (2)

(1)(2) suy ra EH = EA

Hay ∆EAH cân tại E

d) Trong ∆ABH có AE = EB; AF = HF

suy ra EF // BH và EF = BH/2 = BC/4 (tính chất đường trung bình)

Xét ∆BHF vuông tại H, ta có

BF > BH (cạnh huyền > cạnh góc vuông)

Nên BF > BC/2

Ta được BF + EH >= BC/2 + BC/4 = 3BC/4