Vì đường cao $AI$ có đỉnh $A$
Mà $ΔABC$ là tam giác cân
Nên $AI$ là đường trung tuyến
Xét $ΔABC$ và $ΔCNA$ có hai đường chéo $AN$ và $BC$ cắt nhau tại $I$:
$AI$ = $IN$ $(gt)$
$AN$ ⊥ $BC$ $(gt)$
$BI$ = $IC$ ($AI$ là đường trung tuyến)
Do đó: $ΔABC$ = $ΔCNA$ $(c.g.c)$
⇒ $AC$ // $BN$
Gọi $P$ là giao điểm của $AC$ và $NH$
Mà $AC$ // $BN$ $(gt)$
⇒ $AP$ // $BN$
⇒ $CP$ // $BN$
Mặt khác: $BC$ = $CH$ $(gt)$
⇒ $NP$ = $PH$ (tính chất đường trung bình)
Do đó: $AP$ là đường trung tuyến ứng với cạnh $NH$ trong $∆AHN$
Vì $HI$ cũng là đường trung tuyến với cạnh AN trong $∆AHN$ (vì $AI$ = $IN$)
Mà $AM$ và $IH$ cắt nhau tại $C$
⇒ $C$ là trọng tâm của $∆AHN$
⇒ $NC$ là trung tuyến với cạnh $AH$ trong $∆AHN$
Vì $∆AHC$ cũng có $CK$ là trung tuyến với cạnh $AH$
Vậy $N$, $C$, $K$ thẳng hàng
