Giải thích các bước giải:
a, Ta có: HE ║ DG (cùng ⊥ BD)
⇒ $\widehat{BEH} = \widehat{BCA}$ (đồng vị)
ΔABC cân tại A ⇒ $\widehat{ABC} = \widehat{BCA}$
⇒ $\widehat{ABC} = \widehat{BEH}$ hay $\widehat{FBE} = \widehat{HEB}$
Xét 2 tam giác vuông ΔHBE và ΔFEB có:
BE chung; $\widehat{FBE} = \widehat{HEB}$
⇒ ΔHBE = ΔFEB (cạnh huyền - góc nhọn) (đpcm)
b, ΔHBE = ΔFEB (cạnh huyền - góc nhọn) ⇒ EF = BH
EG ║ HD (cùng ⊥ AC), EH ║ DG (cùng ⊥ BD), theo tính chất đoạn chắn ta có EG = HD
Suy ra: EF + EG = BH + HD = BD (đpcm)
c, Kẻ FJ ║ AC (J ∈ BC)
⇒ $\widehat{BJF} = \widehat{BCA}$ (so le trong)
⇒ $\widehat{BJF} = \widehat{ABC}$ ⇒ ΔBJF cân tại F ⇒ FB = FJ
mà FB = KC ⇒ KC = FJ
Xét ΔIFJ và ΔIKC có:
$\widehat{IFJ} = \widehat{IKC}$ (so le trong), FJ = KC, $\widehat{IJF} = \widehat{ICK}$ (so le trong)
⇒ ΔIFJ = ΔIKC (c.g.c) ⇒ IF = IK
⇒ I là trung điểm của FK (đpcm)
d, ΔEGH có EH ⊥ EG (do EH ║ AC, EG ⊥ AC) nên ΔEGH vuông tại E
Để ΔEGH vuông cân thì EG = EH
Mặt khác ta đã có EH = DG (tính chất đoạn chắn)
⇒ EG = DG ⇒ ΔEDG vuông cân ở G
⇒ $\widehat{GDE} = \widehat{GED} = 45^o$
⇒ $\widehat{GDE} = \widehat{EDB} = 45^o$
⇒ Cách xác định điểm E
Kẻ BD ⊥ AC (D ∈ AC)
Vẽ tia phân giác của $\widehat{BDC}$ cắt BC ở E
E là điểm cần tìm.
