Đáp án:
`a) HB=CK.`
`b)\hat{AHB}=\hat{AKC}.`
`c)`$HK//DE.$
`d)ΔAHE=ΔAKD.`
`e)AI⊥DE.
Giải thích các bước giải:
`a)` Xét `ΔABC` cân tại `A` có:
- `AB=AC`
- `\hat{ABC}=\hat{ACB}`
Lại có: `\hat{ABC}=\hat{HBD}, \hat{ACB}=\hat{KCE}` (vì là các góc đối đỉnh)
`⇒\hat{HBD}=\hat{KCE}.`
Xét `ΔBHD` và `ΔCKE` có:
- `BD=CE`$ (gt) $
- `\hat{HBD}=\hat{KCE}` $(cmt)$
- `\hat{DHB}=\hat{EKC}=90^0`$ (gt) $
`⇒ΔBHD=ΔCKE(ch-gn)`
`⇒BH=CK (dpcm)`
Vậy `HB=CK.`
`b)` Xét `ΔABH` và `ΔACK` có:
- `AB=AC` $(gt)$
- `BH=CK` $(cmt)$
- `\hat{ABH}=\hat{ACK}` (cùng bù với hai góc bằng nhau là: `\hat{ABC}` và `\hat{ACB}`)
`⇒ΔABH=ΔACK (c-g-c)`
`⇒\hat{AHB}=\hat{AKC}, \hat{BAH}=\hat{CAK} .` (hai góc tương ứng)
Vậy `\hat{AHB}=\hat{AKC}(dpcm).`
`c)` Xét `ΔABC` cân tại `A` có:
`⇒\hat{ABC}=\hat{ACB}={180^0-\hat{CAB}}/2`
Ta có: `AB=AC, BD=CE`
`⇒AB+BD=AC+CE`
`⇔AD=AE.`
`⇒ΔADE` cân tại `A`
`⇒\hat{ADE}=\hat{AED}={180^0-\hat{CAB}}/2`
Có: `\hat{ADE}=\hat{ABC}, \hat{ACB}=\hat{AED}(={180^0-\hat{CAB}}/2)`
Mà các góc ở vị trí đồng vị.
$⇒BC//ED$. Mà `H∈BC, K∈BC`
$⇒HK//ED.$
Vậy $⇒HK//ED(dpcm).$
`d)` Có `\hat{BAH}=\hat{CAK}`$(cmt)$
`⇒\hat{BAH}+\hat{BAE}=\hat{CAK}+\hat{BAE}`
`⇔\hat{HAE}=\hat{KAD}.`
Xét `ΔAHE` và `ΔAKD` có:
- `\hat{HAE}=\hat{KAD}` $(cmt)$
- `AH=AK` (do `ΔABH=ΔACK`$(cmt)$)
- `AD=AE` $(cmt)$
`⇒ΔAHE=ΔAKD(c-g-c)`
Vậy `ΔAHE=ΔAKD(dpcm).`
`e)` Có: `ΔAHE=ΔAKD`$(cmt)$
`⇒ \hat{AEH}=\hat{ADK}` (hai góc tương ứng)
Mà: ` \hat{HDB}=\hat{KEC}`$(cmt)$
`⇒\hat{AEH}+ \hat{KEC}=\hat{ADK}+\hat{HDB}`
`⇔\hat{HDI}=\hat{KEI}`
Mà: `HD⊥BC, EK⊥BC`$⇒HD//EK$
`⇒\hat{HDI}=\hat{IKE}` (hai góc so le trong)
`⇒\hat{DHI}=\hat{IEK}` (hai góc so le trong)
`⇒\hat{HDI}=\hat{KEI}=\hat{IKE}=\hat{DHI}`
`⇒ΔHID` cân tại `I`, `ΔKIE` cân tại `I`.
`⇒HI=ID, IK=IE.`
Xét `ΔHID` và `ΔEIK` có:
-`HD=EK` $(cmt)$
-`\hat{HDI}=\hat{IKE}` $(cmt)$
-`\hat{DHI}=\hat{IEK}`$(cmt)$
`⇒ΔHID =ΔEIK (g-c-g)`
`⇒ID=IK, IH=IE.` (hai cạnh tương ứng)
Lại có: `HI=ID, IK=IE.`$(cmt)$
`⇒ID=IK=IH=IE`
`⇒ΔIED` cân tại `I ⇔ID=IE.`
`⇒I` thuộc đường trung trực của `DE`
Lại có: `AD=AE` (`ΔADE` cân tại `A`$(cmt)$)
`⇒A` thuộc đường trung trực của `DE`
`⇒ AI` là đường trung trực của `DE.`
`⇒AI ⊥DE.`
Vậy `AI ⊥DE`$(dpcm)$.
Hình tham khảo: