a)
$\Delta ABC$ cân tại $A$
$\to\begin{cases}AB=AC\\\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\end{cases}$
Ta có:
$\begin{cases}\widehat{ABC}+\widehat{ABM}=180{}^\circ\\\widehat{ACB}+\widehat{ACN}=180{}^\circ\end{cases}$ (hai góc kề bù )
$\to \widehat{ABM}=\widehat{ACN}$
Xét $\Delta ABM$ và $\Delta ACN$, ta có:
$AB=AC\,\,\,\left( cmt \right)$
$\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\,\,\,\left( cmt \right)$
$BM=CN\,\,\,\left( gt \right)$
$\to \Delta ABM=\Delta ACN\,\,\,\left( \,c\,.\,g\,.\,c\, \right)$
$\to AM=AN$ ( hai cạnh tương ứng )
$\to \Delta AMN$ cân tại $A$
b)
Vì $\Delta ABM=\Delta ACN\,\,\,\left( cmt \right)$
$\to \widehat{AMB}=\widehat{ANC}$ ( hai góc tương ứng )
Ta có: $BM=CN\,\,\left( gt \right)$
$\to BM+BC=CN+BC$
$\to MC=NB$
Xét $\Delta MFC$ vuông tại $F$ và $\Delta NEB$ vuông tại $E$, ta có:
$\widehat{AMB}=\widehat{ANC}\,\,\,\left( cmt \right)$
$MC=NB\,\,\,\left( cmt \right)$
$\to \Delta MFC=\Delta NEB\,\,\,\left( \,ch\,-\,gn\, \right)$
$\to CF=BE$ ( hai cạnh tương ứng )
c)
Vì $\Delta MFC=\Delta NEB\,\,\,\left( cmt \right)$
$\to MF=NE$ ( hai cạnh tương ứng )
Ta có: $\begin{cases}MF+AF=AM\\NE+AE=AN\end{cases}$
Mà: $\begin{cases}MF=NE\,\,\,\left(cmt\right)\\AM=AN\,\,\,\left(cmt\right)\end{cases}$
Nên: $AF=AE$
Xét $\Delta AFO$ vuông tại $F$ và $\Delta AEO$ vuông tại $E$, ta có:
$AO$ là cạnh chung
$AF=AE\,\,\,\left( cmt \right)$
$\to \Delta AFO=\Delta AEO\,\,\left( \,ch\,-\,cgv\, \right)$
$\to \widehat{FAO}=\widehat{EAO}$ ( hai góc tương ứng )
$\to AO$ là tia phân giác $\widehat{FAE}$
$\to AO$ là tia phân giác $\widehat{MAN}$
