a. Xét $2$ $ΔABH$ và $ΔACH$ vuông có:
$AH$ chung
$AB$ $=$ $AC$ (gt)
⇒$ΔABH$ $=$ $ΔACH$ (ch - cgv) (đpcm)
⇒Góc $BAH$ $=$ góc $CAH$
⇒$AH$ là tia phân giác của góc $BAC$ (đpcm)
$b$. $ΔAHB$ vuông tại $H$
⇒$AB²$ $=$ $AH²$ $+$ $BH²$
⇔$102$ $=$ $AH²$ $+$ $82$
⇔$AH²$ $=$ $36$
⇔ $AH$ $=$ $6cm$
$c$. $ΔABH$ $=$ $ΔACH$ (ch - cgv)
⇒$HB$ $=$ $HC$
⇒$AH$ là trung tuyến của $ΔABC$
$ΔABC$ có $AH$, $BE$ là các trung tuyến cắt nhau tại $G$
⇒$G$ là trọng tâm
⇒$HG$ = $1/3AH$ $=$ $6/3$ $=$ $2cm$
$d$. Ta có góc $FHB$ $=$ góc $ACB$ ($HF$ $//$ $AC$ nên đó là hai góc ở vị trí đồng vị)
Mà góc $ABC$ = góc $ACB$
⇒Góc $FHB$ $=$ góc $FCH$
⇒$∆FBH$ cân đỉnh $F$
⇒$FB$ $=$ $FH$ ($1$)
Ta có: góc $FHA$ $=$ góc $HAC$ $F$ $//$ $AE$ nên đó là hai góc so le trong)
Lại có: góc $FAH$ $=$ góc $HAC$ (cm câu $a$)
⇒Góc $FHA$ $=$ góc $FEH$
⇒$∆FAH$ cân đỉnh $F$
⇒FA$ $=$ $FH$ ($2$)
Từ ($1$) và ($2$) suy ra:
$FA$, $=$ $FB$ (=$FH$)
⇒$F$ là trung điểm của $AB$
⇒$CF$ là đường trung tuyến của $∆ABC$
↣ $AH$ cũng là đường đường trung tuyến vì $HB$ $=$ $HC$ (suy ra từ câu $a$)
$AH$,$BE$ là hai đường trung tuyến cắt nhau tại $G$ nên $G$ là trong tâm
⇒$CF$ ⇒$CF$ đi qua $, G$
⇒ $G$, $C$, $F$ thẳng hàng (đpcm)
