$∆ABC$ cân tại $A$ có `\hat{BAC}=100°` (gt)
`=>\hat{ABC}=\hat{ACB}={180°-\hat{BAC}}/2={180°-100°}/2=40°`
$BD$ là phân giác `\hat{ABC}` (gt)
`=>\hat{ABD}=\hat{CBD}=1/ 2 \hat{ABC}=1/ 2 .40°=20°`
$\\$
Trên cạnh $BC$ lấy điểm $E$ sao cho $BD=BE$
`=>∆BDE` cân tại $B$
`=>\hat{BDE}=\hat{BED}={180°-\hat{DBE}}/2={180°-20°}/2=80°`
$\\$
Ta có `\hat{BED}` là góc ngoài $∆CDE$
`=>\hat{BED}=80°=\hat{CDE}+\hat{DCE}`
`=>\hat{CDE}=80°-\hat{DCE}=80°-40°=40°`
`=>\hat{CDE}=\hat{DCE}=40°`
`=>∆CDE` cân tại $E$
`=>DE=CE`
$\\$
Vẽ $DM\perp AB$ tại $M$;$DN\perp BC$ tại $N$
Ta có:
`\hat{DAM}+\hat{BAD}=180°` (hai góc kề bù)
`=>\hat{DAM}=180°-\hat{BAD}=180°-100°=80°`
Xét $∆ADM$ vuông tại $M$
`=>\hat{DAM}+\hat{ADM}=90°` (hai góc phụ nhau)
`=>\hat{ADM}=90°-\hat{DAM}=90°-80°=10°`
$\\$
Xét $∆DEN$ vuông tại $N$
`=>\hat{DEN}+\hat{EDN}=90°` (hai góc phụ nhau)
`=>\hat{EDN}=90°-\hat{DEN}=90°-80°=10°`
$\\$
$D$ thuộc tia phân giác $BD$ của `\hat{ABC}`
`=>DM=DN`
$\\$
Xét $∆ADM$ và $∆EDN$ có:
`\qquad \hat{AMD}=\hat{END}=90°`
`\qquad DM=DN`
`\qquad \hat{ADM}=\hat{EDN}=10°`
`=>∆ADM=∆EDN` (g-c-g)
`=>DA=DE` (hai cạnh tương ứng)
$\\$
Mà $DE=CE$ (c/m trên)
`=>DA=CE`
`=>BD+DA=BE+CE=BC`
Vậy $BD+DA=BC$ (đpcm)
