Đáp án:
a) Xét ΔABH và ΔACH vuông tại H có:
+ BA = CA
+ góc ABH = góc ACH (do ΔABC cân tại A)
=> ΔABH = ΔACH
b) Do ΔABH = ΔACH nên góc BAH = góc CAH
Xét ΔAHM và ΔAHN vuông tại M và N có:
+ AH chung
+ góc HAM = góc HAN
=> ΔAHM = ΔAHN
=> AM = AN
=> ΔAMN cân tại A
c) Do ΔABC và ΔAMN cân tại A nên 4 góc M,N,B,C bằng nhau
=> MN // BC
d)
$\begin{array}{l}
\widehat {BAC} = {120^0}\\
\Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \widehat {AMN} = \widehat {ANM} = \frac{{{{180}^0} - {{120}^0}}}{2} = {30^0}\\
\Rightarrow \widehat {HMN} = {90^0} - \widehat {AMN} = {60^0}
\end{array}$
Mà tam giác HMN cân tại H (HM=HN)
=> tam giác HMN đều
e) Theo định lý Pytago cho các tam giác vuông AMH tại M và BMH tại M có:
$\begin{array}{l}
A{H^2} = A{M^2} + M{H^2}\\
\Rightarrow A{H^2} + B{M^2} = A{M^2} + M{H^2} + B{M^2}\\
= A{N^2} + \left( {M{H^2} + B{M^2}} \right)\left( {Do:AM = AN} \right)\\
= A{N^2} + B{H^2}\\
Vậy\,A{H^2} + B{M^2} = A{N^2} + B{H^2}
\end{array}$
