Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a/ $ΔABC$ cân tại $B$ có $BH$ là đường cao

$⇒ BH$ cũng là đường trung tuyến $ΔABC$

$⇒ H$ là trung điểm $AC$

b/ $ΔABC$ cân tại $B$ có $BH$ là đường cao

$⇒ BH$ là tia phân giác $\widehat{EBF}$

Hay $\widehat{EBH}=\widehat{FBH}$

Xét $ΔEBH$ và $ΔFBH$

Có: $\widehat{BEH}=\widehat{BFH}$ $(=90^0)$

$BH$ chung

$\widehat{EBH}=\widehat{FBH}$ (chứng minh trên)

$⇒ ΔEBH = ΔFBH$ (cạnh huyền-góc nhọn)

$⇒ EB=FB$

$⇒ ΔEBF$ cân tại $B$

c/ Xét $ΔHAM$ và $ΔHCF$

Có: $\widehat{HMA}=\widehat{HFC}$ $(=90^0)$

$\widehat{AHM}=\widehat{FHC}$ (đối đỉnh)

$AH=HC$ (câu $a$)

$⇒ ΔHAM = ΔHCF$ (cạnh huyền-góc nhọn)

$⇒ AM=FC$ và $\widehat{HAM}=\widehat{HCF}$

Mà $FC=AE$ và $\widehat{HCF}=\widehat{HAE}$

nên $AM=AE$ và $\widehat{HAM}=\widehat{HAE}$

$⇒ ΔAME$ cân tại $A$ có $AH$ là tia phân giác $\widehat{MAE}$

$⇒ AH$ là đường trung trực đoạn $EM$

d/ $ΔEMF$ có $EH$ và $FP$ là các đường trung tuyến cắt nhau tại $K$

$⇒ MK$ đi qua trung điểm đoạn $EF$ $(1)$

Từ câu $b$: $ΔEBH = ΔFBH$

$⇒ EB=FB$ và $HE=HF$

$⇒ BH$ là đường trung trực đoạn $EF$

$⇒ BH$ đi qua trung điểm đoạn $EF$ $(2)$

Từ $(1), (2)$ suy ra: $MK, BH, EF$ đồng quy

Đáp án:

$\\$

`a,`

Do `ΔABC` cân tại `B` (gt)

`BH` là đường cao (gt)

`-> BH` là đường trung tuyến

`-> H` là trung điểm của `AC`

$\\$

`b,`

Do `ΔABC` cân tại `B`

`-> AB=BC` và `hat{EAH}=hat{FCH}`

Xét `ΔAEH` và `ΔCFH` có :

`hat{AEH}=hat{CFH}=90^o` ( `HE⊥AB, HF⊥BC`)

`AH=CH` (Do `H` là trung điểm của `AC`)

`hat{EAH}=hat{FCH}` (cmt)

`-> ΔAEH  = ΔCFH` (cạnh huyền - góc nhọn)

`-> AE=CF` (2 cạnh tương ứng)

Có : `BE = AB - AE, BF = BC -CF`

mà `AB=BC` (cmt), `AE=CF` (cmt)

`-> BE=BF`

`-> ΔBEF` cân tại `B`

$\\$

`c,`

Do `ΔAEH = ΔCFH` (cmt)

`-> HE=HF` (2 cạnh tương ứng)

mà `MH =HF` (Do `H` là trung điểm của `MF`)

`-> HE = MH (=HF)`

`-> H` nằm trên đường trung trực của `ME` `(1)`

Xét `ΔAHM` và `ΔCHF` có :

`hat{AHM}=hat{CHF}` (2 góc đối đỉnh)

`AH=CH` (Do `H` là trung điểm của `AC`)

`MH=HF` (Do `H` là trung điểm của `MF`)

`-> ΔAHM = ΔCHF` (cạnh - góc - cạnh)

`-> AM = CF` (2 cạnh tương ứng)

mà `AE=CF` (cmt)

`-> AM=AE (=CF)`

`-> A` nằm trên đường trung trực của `ME` `(2)`

Từ `(1), (2)`

`-> AH` là đường trung trực của `ME`

hay `AC` là đường trung trực của `ME`

$\\$
`d,`

Gọi `O` là giao của `EF` và `BH` `(3)`

Do `AC` là đường trung trực của `ME` (cmt)

`-> AC` đi qua trung điểm của `ME`

mà `P` là giao của `ME` và `AC`

`-> P` là trung điểm của `ME`

`-> FP` là đường trung tuyến của `ΔMEF`

Có : `H` là trung điểm của `MF` (gt)

`-> EH` là đường trung tuyến của `ΔMEF`

Có : `BE=BF` (cmt), `HE=HF` (cmt)

`-> B` nằm trên đường trung trực của `EF, H` nằm trên đường trung trực của `EF`

`-> BH` là đường trung trực của `EF`

`-> BH` đi qua trung điểm của `EF`

mà `O` là giao của `BH` và `EF`

`-> O` là trung điểm của `EF`

`-> MO` là đường trung tuyến của `ΔMEF`

Xét `ΔMEF` có :

`FP` là đường trung tuyến (cmt)

`EH` là đường trung tuyến (cmt)

`FP` cắt `EH` tại `K`

`-> K` là trọng tâm của `ΔMEF`

mà `MO` là đường trung tuyến của `ΔMEF`

`-> MO` đi qua `K`

hay `MK` đi qua `O` `(4)`

Từ `(3), (4)`

`-> BH,EF,MK` đồng quy tại `O`