`a)`
Xét `ΔABC` có:
`CD=BD(g``t)`
`CE=AE(g``t)`
`⇒DE` là đường trung bình của `ΔABC`
`⇒DE////AB(` tính chất đường trung bình của `Δ)`
Mà `M∈DE,F∈AB`
`⇒EM////BF`
Xét tứ giác `BEMF` có:
`EM////BF(cmt)`
`FM////BE(g``t)`
`⇒` tứ giác `BEMF` là hình bình hành `(` tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành `)(đpcm)`
`b)`
Gọi `O` là giao điểm của `FE` và `BM`
Ta có:`BF=AF(g``t)`
Mà `BF+AF=AB`
`⇒BF=AF=1/2AB`
Vì `BEMF` là hình bình hành
`⇒ME=BF(` tính chất hình bình hành `)`
Mà `BF=1/2AB(cmt)`
`⇒ME=1/2AB(1)`
Vì `DE` là đường trung bình của `ΔABC`
`⇒DE=1/2AB(` tính chất đường trung bình của `Δ)(2)`
Từ `(1)` và `(2)⇒ME=DE(=1/2AB)`
Mà `ME+DE=MD`
`⇒ME=DE=1/2MD`
Mà `ME=DE=1/2AB(cmt)`
`⇒MD=AB`
Vì `DE////AB(cmt)`
Mà `M∈DE`
`⇒MD////AB`
Xét tứ giác `ABDM` có:
`MD=AB(cmt)`
`MD////AB(cmt)`
`⇒` tứ giác `ABDM` là hình bình hành `(` tứ giác có `2` cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành `)`
`⇒O` là trung điểm của `2` đường chéo `AD` và `BM(` tính chất hình bình hành `)(3)`
Vì `BEMF` là hình bình hành
`⇒O` là trung điểm của `2` đường chéo `BM` và `EF(` tính chất hình bình hành `)(4)`
Từ `(3)` và `(4)⇒AD,BM,EF` đồng quy tại điểm `O(đpcm)`
`c)`
Xét tứ giác `ADCM` có:
`AE=CE(g``t)`
`ME=DE(cmt)`
`⇒` tứ giác `ADCM` là hình bình hành `(` tứ giác có `2` đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành `)`
`⇒AD=CM(` tính chất hình bình hành `)(đpcm)`
