Đáp án đúng:
Giải chi tiết:
1) PB = PQ.
Ta có: \(\widehat{BPQ}=\widehat{BOC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CB trong đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC).
\(\widehat{PQB}=\widehat{OPQ}\,\,\left( slt \right)=\widehat{OBC}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung OC trong đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC).
\(\Rightarrow \Delta PBQ\sim \Delta OCB\ \ \left( g-g \right)\Rightarrow \frac{PB}{OC}=\frac{PQ}{OB}.\)
Mà \(OB=OC\ \ \left( =R \right)\Rightarrow PB=PQ\ \ \left( dpcm \right).\)
2) O là trực tâm của tam giác ADE.
\(\widehat{OBE}=\widehat{OCE}=\widehat{OAE}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung OE trong đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC).
\(\widehat{OBA}=\widehat{OAB}\) (tam giác OAB cân tại O)
\(\Rightarrow \widehat{OBE}+\widehat{OBA}=\widehat{OAE}+\widehat{OAB}\Rightarrow \widehat{EAB}=\widehat{EBA}\)
\(\Rightarrow \Delta EAB\) cân tại \(E\Rightarrow EA=EB\Rightarrow E\) thuộc đường trung trực của \(AB.\)
Lại có \(OA=OB\ \ \left( =R \right)\Rightarrow O\)  thuộc đường trung trực của \(AB.\(
\(\Rightarrow OE\) là trung trực của AB \(\Rightarrow OE\bot AB.\)
Chứng minh tương tự ta có \(OD\bot AC.\)
\(\Rightarrow O\) là  trực tâm tam giác \(ADE.\)
3) \(\widehat{PAO}=\widehat{QAC}.\) 
Gọi T là giao điểm của CP và (O).
Có \(\widehat{BPC}=\widehat{BOC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC)
Mà \(\widehat{BOC}=2\widehat{BTC}\) (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung BC của (O)).
\(\Rightarrow \widehat{BPC}=2\widehat{BTC}=2\widehat{BTP}\)
Xét tam giác \(BTP\) có: \(\widehat{BPC}=\widehat{BTP}+\widehat{TBP}\) (tính chất góc ngoài của tam giác)
\(\Rightarrow 2\widehat{BTP}=\widehat{BTP}+\widehat{TBP}\Leftrightarrow \widehat{BTP}=\widehat{TBP}\Rightarrow \Delta PTB\) cân tại P \(\Rightarrow PT=PB\)
Mà \(PB=PQ\,\,\left( cmt \right)\Rightarrow PT=PQ\Rightarrow \Delta PTQ\) có đường cao AP đồng thời là trung tuyến.
\(\Rightarrow \Delta ATQ\)  cân tại A.
\(\Rightarrow \widehat{PAQ}=\widehat{PAT}={{90}^{0}}-\widehat{ATC}\) (hai góc nhọn trong tam giác vuông phụ nhau).
Mà \(\widehat{ATC}=\widehat{ABC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC) của đường tròn (O)
\(\widehat{ABC}=\frac{1}{2}\widehat{AOC}\) (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung AC) của đường tròn (O)).
\(\Rightarrow \widehat{PAQ}=\widehat{PAT}={{90}^{0}}-\frac{1}{2}\widehat{AOC}=\frac{{{180}^{0}}-\widehat{AOC}}{2}\)
Xét tam giác OAC cân tại A có \(\widehat{OAC}+\widehat{OCA}+\widehat{AOC}={{180}^{0}}\Rightarrow \widehat{OAC}=\widehat{OCA}=\frac{{{180}^{0}}-\widehat{AOC}}{2}\)
\(\begin{align}  & \Rightarrow \widehat{PAQ}=\widehat{OAC} \\  & \Rightarrow \widehat{PAQ}+\widehat{QAO}=\widehat{OAC}+\widehat{QAO}\Rightarrow \widehat{PAO}=\widehat{QAC}\,\,\left( dpcm \right) \\ \end{align}\)