a) Ta có: $\widehat{BFC}=90^o$ (giả thiết) $\Rightarrow F$ thuộc đường tròn đường kính $(BC)$
$\widehat{BEC}=90^o$ (giả thiết) $\Rightarrow E$ thuộc đường tròn đường kính $(BC)$
Từ hai điều trên suy ra tứ giác $BFEC$ nội tiếp đường tròn đường kính $(BC)$
Ta có: $\widehat{AFH}=90^o\Rightarrow F$ nội tiếp đường tròn đường kính $(AH)$
$\widehat{AEH}=90^o\Rightarrow E$ thuộc đường tròn đường kính $(AH)$
nên $AFHE$ nội tiếp đường tròn đường kính (AH).
b) Ta có: $\widehat{ACK}=90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
$\widehat{ADB}=90^o$ (giả thiết)
Xét $\Delta ADB$ và $\Delta ACK$ có:
$\widehat{ADB}=\widehat{ACK}=90^o$
$\widehat{ABD}=\widehat{AKC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
$\Rightarrow\Delta ADB\sim\Delta ACK$ (g.g)
$\Rightarrow\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AB}{AK}$ (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)
$\Rightarrow AK.AD=AB.AC$
c) Qua $A$ kẻ $Ax//EF\Rightarrow\widehat{xAF}=\widehat{AFE}$ (hai góc ở vị trí so le trong)
mà $\widehat{AFE}=\widehat{ECB}$ (cùng $+\widehat{EFB}$ bằng $180^o$)
$\Rightarrow\widehat{xAF}=\widehat{ECB}$ mà chúng cùng chắn cung AB nên $Ax$ là tiếp tuyến của (O)
$\Rightarrow Ax\bot OA\Rightarrow EF\bot OA\Rightarrow\widehat{ATE}=90^o$
$\Delta ATE\sim\Delta ACK$ (g.g) $(\widehat A\text{ chung, }\widehat {ATE}=\widehat{ACK}=90^o)$
$\Rightarrow\dfrac{AT}{AC}=\dfrac{AE}{AK}$ (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)
$\Rightarrow AT.AK=AE.AC$ (1)
$\Delta AEH\sim\Delta ADC$ (g.g) $(\widehat A\text{ chung, }\widehat {AEH}=\widehat{ADC}=90^o)$
$\Rightarrow\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{AH}{AC}$
$\Rightarrow AE.AC=AH.AD$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $AT.AK=AH.AD$
$\Rightarrow\dfrac{AT}{AD}=\dfrac{AH}{AK}$
$\widehat A$ chung
$\Rightarrow\Delta ATH\sim\Delta ADK$ (c.g.c)
$\Rightarrow\widehat{ATH}=\widehat{ADK}$
$\Rightarrow $ tứ giác $THDK$ nội tiếp.
