Đáp số:
a) $\Delta ABC$ có $\widehat A$ là góc tù
b) $MA=\dfrac{\sqrt{474}}{2}$
$S=\dfrac{5\sqrt{1023}}{4}$
$R=\dfrac{208}{\sqrt{1023}}$
$r= \dfrac{5\sqrt{1023}}{62}$
Lời giải:
a) Áp dụng định lý hàm số cos ta có:
$c^2 = a^2 + b^2 -2ab \cos A$
$\Leftrightarrow 2ab \cos A = a^2 + b^2 - c^2$
$\Leftrightarrow 2.8.10.\cos A = 8^2 + 10^2 - 13^2$
$\Leftrightarrow \cos A = -\dfrac{1}{32}$
Ta thấy $\cos A < 0$, do đó $\widehat{A} > 90^{\circ}$.
Vậy tam giác ABC tù tại A.
b) Áp dụng công thức đường trung tuyến ta có:
Độ dài đường trung tuyến MA là:
$MA=m_A = \sqrt{\dfrac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}} = \dfrac{\sqrt{474}}{2}$
Nửa chu vi là $p=\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{31}{2}$
Áp dụng công thức Hê - rông ta có
$S_{ABC} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}= \dfrac{5\sqrt{1023}}{4}$
Áp dụng công thức $S=\dfrac{abc}{4R}$ (R: tâm đường tròn ngoại tiếp)
$\Rightarrow R=\dfrac{abc}{4S}=\dfrac{8.10.13}{4.\dfrac{5\sqrt{1023}}{4}}=\dfrac{208}{\sqrt{1023}}$
Áp dụng công thức $S=pr$ (r là tâm đường tròn nội tiếp)
$\Rightarrow r=\dfrac{\dfrac{5\sqrt{1023}}{4}}{\dfrac{31}{2}}= \dfrac{5\sqrt{1023}}{62}$
