Xét $ΔABC$:
$AB^2+AC^2\\=4,5^2+6^2\\=20,25+36\\=56,25\\=7,5^2\\→AB^2+AC^2=BC^2$
$→ΔABC$ vuông tại $A$ (định lý Pytago đảo)
$BD$ là đường phân giác $\widehat B$ trong $ΔABC$
$→\dfrac{AD}{CD}=\dfrac{BA}{BC}$ hay $\dfrac{AD}{CD}=\dfrac{4,5}{7,5}$
$↔\dfrac{AD}{CD}=\dfrac{3}{5}\\↔\dfrac{AD}{3}=\dfrac{CD}{5}$
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
$\dfrac{AD}{3}=\dfrac{CD}{5}=\dfrac{AD+CD}{3+5}=\dfrac{AC}{8}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}$
$→AD=2,25(cm)$
$ΔABC$ vuông tại $A$
$→\widehat A=90^\circ$
Xét $ΔABD$:
$\widehat A=90^\circ(cmt)$
$→ΔABD$ vuông tại $A$
Áp dụng định lý Pytago vào $ΔABD$ vuông tại $A$:
$AB^2+AD^2=BD^2$ hay $4,5^2+2,25^2=BD^2$
$↔20,25+5,0625=BD^2\\↔25,3125=BD^2\\↔\dfrac{9\sqrt 5}{4}cm=BD$
Xét $ΔABD$ vuông tại $A$:
$\sin ABD=\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{2,25}{\dfrac{9\sqrt 5}{4}}=\dfrac{\sqrt 5}{5}$
$\cos ABD=\dfrac{AB}{BD}=\dfrac{4,5}{\dfrac{9\sqrt 5}{4}}=\dfrac{2\sqrt 5}{5}$
$\tan ABD=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{2,25}{4,5}=\dfrac{1}{2}$
$\cot ABD=\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{4,5}{2,25}=2$
Vậy $\sin ABD=\dfrac{\sqrt 5}{5},\,\cos ABD=\dfrac{2\sqrt 5}{5},\,\tan ABD=\dfrac{1}{2},\,cot ABD=2$
