a, Áp dụng định lí Pitago, ta có:
$AB^{2}$ + $AC^{2}$ = $BC^{2}$
= $3^{2}$ + $4^{2}$ = $5^{2}$ (đúng với đề bài) (đpcm)
b, Do MN là đường trung bình của tam giác ABC.
=> BN = AN = $\frac{AB}{2}$
BM = CM = $\frac{BC}{2}$
Xét Δ BMN và AMN có:
MN chung
BMN = AMN (gt)
BN = AN
=> Δ BMN = Δ AMN (c-g-c)
=> BM = AM (2 cạnh tương ứng)
=> Tam giác MAB cân (đpcm)
c, Ta có: BM vuông góc với BD với ME => DB // ME
Lại có: DB = ME => Tứ giác BMED là hình bình hành (1)
Do DB = ME (cmt) => DE = BM
Xét Δ BMD và Δ EDM có:
BD = EM (cmt)
BM = ED (cmt)
MD chung
=> Δ BMD = Δ EDM (c-c-c)
=> MD là đường trung trực của BE
Xét Δ BDG và Δ EMG có:
BD = EM (cmt)
BDG = EMG (cmt)
DG = GM (gt)
=>Δ BDG = Δ EMG (c-g-c)
=> BG = EG (2 cạnh tương ứng)
Hay: G là trung điểm của BE(2)
Từ (2) ⇒ G là trung điểm của DM hay: BE = DM (3)
Từ (1), (3) ⇒ Tứ giác BMED là hình chữ nhật (đpcm)
d, Khi Δ BDC cân => BD = BC
⇒ AB là đường trung tuyến của tam giác DBC.
⇒ Diện tích Δ BAD = AB . BD / 2 = AB . BC / 2 = 4 . 5 / 2 = 10 $cm^{2}$
Vẽ hơi xấu tí! thông cảm