a) $\vec{BA}.\vec{AC}=|\vec{AB}|.|\vec{AC}|\cos\widehat(\vec{BA},\vec{AC})=5.6.\cos120^o=-15$
Áp dụng định lý Cosin vào $\Delta ABC$ ta có:
$BC^2=AB^2+AC^2-2AB.AC.\cos\widehat{A}$
$=5^2+6^2-2.5.6.\cos 120^o$
$=91\Rightarrow \sqrt{91}$
b) Áp dụng công thức tính đường trung tuyến vào $\Delta ABC$ ta có:
$AM^2=\dfrac{2(AB^2+AC^2)-BC^2}{4}=\dfrac{2(5^2+6^2)-91}{4}=\dfrac{31}{4}$
$\Rightarrow AM=\dfrac{\sqrt{31}}{2}$
c) $\vec{NA}+2\vec{AC}=\vec 0\Rightarrow \vec{NA}=-2\vec{AC}=2\vec{CA}$
$\Rightarrow AN=2AC=2.6=12$
Giả sử $AK\bot BN$, $AK\cap BN=G$
Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta ABN$ ta có:
$BN^2=AB^2+AN^2-2.AB.AN.\cos\widehat{A}$
$\Rightarrow BN^2=5^2+12^2-2.5.12.\cos120^o=229$
$\Rightarrow BN=\sqrt{229}$
$AN^2=BA^2+BN^2-2.BA.BN.\cos\widehat{ABN}$
$\Rightarrow 12^2=5^2+229-2.5.\sqrt{229}.\cos\widehat{ABN}$
$\Rightarrow \cos\widehat{ABN}=\dfrac{11}{\sqrt{229}}$
Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta $ vuông $ABG$ có:
$\cos\widehat{ABG}=\dfrac{BG}{AB}\Rightarrow \dfrac{11}{\sqrt{229}}=\dfrac{BG}{5}$
$\Rightarrow BG=\dfrac{55}{\sqrt{229}}$
Áp dụng định lý Cosin vào $\Delta BCN$ có:
$CN^2=BC^2+BN^2-2.BC.BN.\cos\widehat{CBN}$
$\Rightarrow 6^2=91+229-2.\sqrt{91}.\sqrt{229}.\cos\widehat{CBN}$
$\Rightarrow \cos\widehat{CBN}=\dfrac{142}{\sqrt{91}\sqrt{229}}$
$\Delta $ vuông $BKG$ có: $\cos\widehat{KBG}=\dfrac{BG}{BK}$
$\Rightarrow \dfrac{142}{\sqrt{91}\sqrt{229}}=\dfrac{\dfrac{55}{\sqrt{229}}}{BK}$
$\Rightarrow BK=\dfrac{\dfrac{55}{\sqrt{229}}}{\dfrac{142}{\sqrt{91}\sqrt{229}}}=\dfrac{55\sqrt{91}}{142}$
Từ hình vẽ suy ra $\vec{BK}$ và $\vec{BC} $ cùng hướng
$\Rightarrow x=\dfrac{\vec{BK}}{\vec{BC}}=\dfrac{BK}{BC}=\dfrac{\dfrac{55\sqrt{91}}{142}}{\sqrt{91}}=\dfrac{55}{142}$
