Giải thích các bước giải:
a.Xét $\Delta ACF, \Delta ABE$ có:
Chung $\hat A$
$\widehat{AFC}=\widehat{AEB}(=90^o)$
$\to\Delta ACF\sim\Delta ABE(g.g)$
$\to\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AF}{AE}$
$\to\dfrac{AC}{AF}=\dfrac{AB}{AE}$
Mà $\widehat{FAE}=\widehat{BAC}$
$\to\Delta AEF\sim\Delta ABC(c.g.c)$
b.Xét $\Delta AHE,\Delta ADC$ có:
Chung $\hat A$
$\widehat{AEH}=\widehat{ADC}(=90^o)$
$\to\Delta AEH\sim\Delta ADC(g.g)$
$\to\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{AH}{AC}$
$\to AE.AC=AH.AD$
Ta có $FK\perp BC\to FK//HD$
$\to \dfrac{HC}{HF}=\dfrac{DC}{DK}$
$\to CH.DK=CD.HF$
c.Tương tự câu b chứng minh được $BF.BA=BH.BE$
$\to \dfrac{BF}{BE}=\dfrac{BH}{BA}$
Mà $\widehat{FBE}=\widehat{ABH}$
$\to\Delta BHA\sim\Delta BFE(c.g.c)$
$\to \widehat{BEF}=\widehat{BAH}=\widehat{HAF}=90^o-\widehat{AHF}=90^o-\widehat{DHC}=\widehat{HCD}=\widehat{HCB}$
Tương tự chứng minh được $\Delta BDE\sim\Delta BHC(c.g.c)$
$\to \widehat{BCH}=\widehat{BED}$
$\to \widehat{BEF}=\widehat{BED}$
$\to EH$ là phân giác $\widehat{FED}$
$\to EH$ là phân giác $\widehat{IED}$
$\to \dfrac{HI}{HD}=\dfrac{EI}{ED}$
d.Tương tự câu a chứng minh được $\Delta DEC\sim\Delta ABC$
$\to \Delta AEF\sim\Delta DEC$
Mà $M, N$ là trung điểm $AF, CD$
$\to \Delta EMF\sim\Delta ENC$
$\to \widehat{EMF}=\widehat{ENC}$
$\to \widehat{EMB}=\widehat{ENC}$
$\to\widehat{EMB}+\widehat{ENB}=\widehat{ENC}+\widehat{ENB}=\widehat{BNC}=180^o$
