$∆ABC$ có $3$ đường cao $AD;BE;CF$
Xét tứ giác $ACDF$ có:
`\hat{ADC}=\hat{AFC}=90°`
`=>ACDF` nội tiếp
`=>\hat{BDF}=\hat{BAC}` $(1)$
Xét tứ giác $AEDB$ có:
`\hat{AEB}=\hat{ADB}=90°`
`=>AEDB` nội tiếp
`=>\hat{CDE}=\hat{BAC}` $(2)$
Từ `(1);(2)=>\hat{BDF}=\hat{CDE}`
Ta có: `\hat{ADB}=\hat{ADC}=90°`
`<=>\hat{BDF}+\hat{FDA}=\hat{CDE}+\hat{EDA}`
`=>\hat{FDA}=\hat{EDA}`
`=>DA` là phân giác `\hat{FDE}`
`=>DA` là phân giác `\hat{MDN}`
Vì `AD`$\perp BC$; $MN$//$BC$
`=>AD`$\perp MN$
Gọi $I$ là giao điểm $AD$ và $MN$
$∆MDN$ có $DI$ vừa là đường cao và phân giác
`=>∆MDN` cân tại $D$
`=>DI` là trung tuyến $∆MDN$
`=>I` là trung điểm $MN$
Xét $∆AMN$ có $AI$ vừa là đường cao và trung tuyến
`=>∆AMN` cân tại $A$
`=>AI` đồng thời là phân giác `\hat{MAN}`
`=>\hat{MAI}=\hat{NAI}`
$AM$ là phân giác `\hat{BAD} ` (gt)
`=>\hat{BAM}=\hat{MAI}=\hat{NAI}`
`=>\hat{MAN}=\hat{MAI}+\hat{NAI}=2\hat{MAI}=\hat{BAD}`
Vậy `\hat{MAN}=\hat{BAD}` (đpcm)
