a) Ta có: $AD = DB \, (gt)$
$AE = EC \, (gt)$
$\Rightarrow DE$ là đường trung bình
$\Rightarrow DE//BC$
hay $DE//BF$
$BF = FC \, (gt)$
$\Rightarrow EF$ là đường trung bình
$\Rightarrow EF//AB$
hay $EF//BD$
Xét tứ giác $BDEF$ có:
$DE//BF$
$BD//EF$
Do đó $BDEF$ là hình bình hành
b) Ta có: $DE//BF$
$\Rightarrow DE//KF$
$\Rightarrow DEFK$ là hình thang đáy $DE, KF$ $(1)$
Ta lại có: $D$ là trung điểm cạnh huyền $AB$ trong $ΔKAB$ vuông tại $K$
$\Rightarrow KD=DA=DB=\dfrac{AB}{2}$
mà $EF=\dfrac{AB}{2}$ ($EF$ là đường trung bình)
nên $EF=KD$ $(2)$
Từ $(1)(2) \Rightarrow DEFK$ là hình thang cân
c) $S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AK.BC = \dfrac{1}{2}.4.6 = 12 \, cm^2$
Gọi $H$ là giao điểm của $DE$ và $AK$
$\Rightarrow AH=HK=\dfrac{AK}{2}$
$\Rightarrow S_{BDEF} = BF.HK = \dfrac{BC}{2}.\dfrac{AK}{2} = \dfrac{6.4}{4} = 6 \, cm^2$
$S_{BDEC} = \dfrac{1}{2}(DE+BC).HK = \dfrac{1}{2}(\dfrac{BC}{2} + BC).\dfrac{AK}{2} = \dfrac{1}{2}(\dfrac{6}{2} + 6).\dfrac{4}{2} = 9 \, cm^2$
