Lời giải:
a) Xét $\triangle ABD$ và $\triangle ACE$ có:
$\begin{cases}\widehat{D} = \widehat{E} = 90^\circ\\\widehat{BAD} = \widehat{CAE} = \dfrac12\widehat{BAC}\quad (gt)\end{cases}$
Do đó: $\triangle ABD\backsim \triangle ACE\ (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{AD}{AE}=\dfrac{BD}{CE}$
b) Ta có: $BD//CE\quad (\perp AD)$
Áp dụng định lý $Thales$ ta được:
$\dfrac{BD}{CE} = \dfrac{IB}{IE}$
Ta lại có: $\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{BD}{CE}$ (câu a)
Do đó: $\dfrac{AD}{AE} = \dfrac{IB}{IE}$
c) Ta có: $\dfrac{AD}{AE} = \dfrac{IB}{IE}$ (câu b)
hay $\dfrac{DE}{AE} = \dfrac{EB}{IE}$
$\Rightarrow AI//BD$ (theo định lý $Thales$ đảo)