Xét tam giác AOB và tam giác COE, có:
+ AB = CE (gt)
+ OB = OC (O thuộc trung trực của BE)
+ AO = CO (O thuộc trung trực của AC)
=> Tam giác AOB = Tam giác COE (c.c.c)
=> $\widehat{OAB} = \widehat{OCE}$ ( 2 góc tương ứng ) {1}
Lại có: AO = OC ( CMT )
=> Tam giác AOC cân tại O ( Định nghĩa tam giác cân )
=> $\widehat{OAC} = \widehat{ACO}$ ( Tính chất tam giác cân ) {2}
Từ {1} và {2} => $\widehat{OAB} = \widehat{OAC}$
Hay AO là phân giác của $\widehat{BAC}$.
Do $\widehat{BAC} = 90^{\circ}$ nên $\widehat{OAC} = 45^{\circ}$ và $\widehat{OCA} = 45^{\circ}$
Vậy tam giác OAC vuông cân tại O.
Áp dụng Pytago ta có
$OA^2 + OC^2 = AC^2$
$<-> 2OA^2 = AC^2$
$<-> AC = OA \sqrt{2}$.
Vậy ta có $AC = OA \sqrt{2}$.