Giải thích các bước giải:
a.Ta có $\Delta AHI$ có đường phân giác đồng thời là đường cao
$\to\Delta AHI$ cân tại $A$
$\to \widehat{AHI}=\widehat{AIH}$
Kẻ $BD//AI$
$\to\widehat{BDH}=\widehat{AIH}=\widehat{AHI}=\widehat{BHD}$
$\to\Delta BHD$ cân tại $B$
$\to BH=BD$
Xét $\Delta BDK,\Delta CIK$ có:
$\widehat{BKD}=\widehat{IKC}$
$KB=KC$ vì $K$ là trung điểm $BC$
$\widehat{KBD}=\widehat{KCI}$ vì $BD//AI$
$\to\Delta KBD=\Delta KCI(g.c.g)$
$\to BD=CI$
$\to CI=BH$
b.Trên tia đối của tia $KA$ lấy điểm $F$ sao cho $KA=KF$
Xét $\Delta KAB,\Delta KFC$ có:
$KA=KF$
$\widehat{AKB}=\widehat{CKF}$
$KB=KC$
$\to\Delta KAB=\Delta KCF(c.g.c)$
$\to \widehat{KAB}=\widehat{KFC}, CF=AB$
Mà $AB<AC\to CF<AC$
$\to \widehat{KAC}<\widehat{KFC}$
$\to \widehat{KAC}<\widehat{KAB}$
c.Ta có $M,N$ là trung điểm $AB,AC$
$\to MA=MB=\dfrac2AB, NA=NC=\dfrac12AC$
$\to BN^2+CM^2=(BA^2+AN^2)+(CA^2+AM^2)$
$\to BN^2+CM^2=(BA^2+CA^2)+(AN^2+AM^2)$
$\to BN^2+CM^2=(BA^2+CA^2)+((\dfrac12AC)^2+(\dfrac12BA)^2)$
$\to BN^2+CM^2=(BA^2+CA^2)+\dfrac14(AB^2+AC^2)$
$\to BN^2+CM^2=\dfrac54(AB^2+AC^2)$
$\to BN^2+CM^2=\dfrac54BC^2$
d.Gọi đường thẳng đi qua trung điểm và vuông góc với $PQ$ giao với trung trực $BC$ tại $G$
$\to G\in$ trung trực $PQ, BC$
$\to GP=GQ, GB=GC$
Mà $BP=CQ$
$\to\Delta GBP=\Delta GQC(c.c.c)$
$\to \widehat{PBG}=\widehat{GCQ}$
$\to\widehat{ABG}=\widehat{GCA}$
$\to G,A,B,C$ cùng thuộc một đường tròn
$\to G$ là giao của đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ và trung trực $BC$
$\to G$ cố định
$\to$ đường thẳng đi qua trung điểm và vuông góc với $PQ$ luôn đi qua $G$ cố định
