`+)` $BE;CF$ là đường cao của $∆ABC$
`=>BE`$\perp AC$ tại $E$
`=>\hat{BEC}=90°`
`\qquad CF`$\perp AB$ tại $F$
`=>\hat{BFC}=90°`
`=>\hat{BEC}=\hat{BFC}=90°`
`=>` Tứ giác $BFEC$ có $2$ đỉnh kề nhau $E;F$ cùng nhìn cạnh $BC$ dưới góc vuông
`=>BFEC` nội tiếp đường tròn đường kính $BC$
`=>` Tâm $T$ của đường tròn ngoại tiếp $BFEC$ là trung điểm của $BC$
$\\$
`+)` Gọi $D$ là giao điểm của $OA$ và $EF$
Vẽ đường kính $AM$ của $(O)$
`=>\hat{ABM}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
`=>\hat{BAM}+\hat{BMA}=90°` (hai góc phụ nhau)
Mà `\hat{BMA}=\hat{ACB}` (cùng chắn cung $AB$)
`=>\hat{BAM}+\hat{ACB}=90°`
$\\$
Vì $BFEC$ nội tiếp
`=>\hat{AFE}=\hat{ACB}` (góc ngoài tại $1$ đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện)
$\\$
`=>\hat{BAM}+\hat{AFE}=90°`
`=>\hat{FAD}+\hat{AFD}=90°`
`=>∆ADF` vuông tại $D$
`=>OA`$\perp EF$ (đpcm)
____________________________
Với $T$ là trung điểm của $BC$
`=>`$ET;FT$ lần lượt là trung tuyến của hai tam giác vuông $∆BEC$ và $∆BFC$
`=>ET=BT=CT=1/ 2 BC;FT=1/ 2 BC` (tính chất trung tuyến)
`=>ET=BT=CT=FT`
`=>T` là tâm đường tròn ngoại tiếp $BFEC$ đường kính $BC$
(Do đó:
Đường tròn ngoại tiếp ∆ vuông có đường kính là cạnh huyền và tâm là trung điểm cạnh huyền)
