Xét $ΔABH$ có:
$AM = MB = \dfrac12AB \quad (gt)$
$BN = NH = \dfrac12BH \quad (gt)$
$\Rightarrow MN$ là đường trung bình
$\Rightarrow MN//AH;\, MN = \dfrac12AH \quad (1)$
Xét $ΔACH$ có:
$AQ = QC = \dfrac12AC\quad (gt)$
$CP=PH = \dfrac12CH\quad (gt)$
$\Rightarrow PQ$ là đường trung bình
$\Rightarrow PQ//AH;\, PQ = \dfrac12AH\quad (2)$
$(1)(2)\Rightarrow PQ//MN;\, PQ = MN$
$\Rightarrow MNPQ$ là hình bình hành
Mặt khác:
$MN//AH\quad (cmt)$
$AH\perp BC \quad (gt)$
$\Rightarrow MN\perp BC$
$\Rightarrow MN\perp NP$
hay $\widehat{MNP}=90^o$
Do đó $MNPQ$ là hình chữ nhật
