a) Ta có:
AD ⊥ AC => ∠DAC= 90 độ
=> ∠DAB + ∠BAC =90 độ (2)
AE ⊥ AB => ∠EAB = 90 độ
=> ∠EAC + ∠BAC = 90 độ (1)
Từ (1) và (2)
=> ∠DAB = ∠EAC
Xét ΔDAB và ΔEAC có:
AD = AC ( giả thiết)
∠DAB = ∠EAC ( chứng minh trên)
AE = AB ( giả thiết)
=> ΔDAB = ΔEAC (c.g.c)
=> BD = CE ( hai cạnh tương ứng)
Vậy BD = CE
b) Xét ΔABM và ΔNCM có:
AM = MN (giả thiết)
∠AMB= ∠CMN ( hai góc đối đỉnh)
MB = MC ( vì trung tuyến AM => M là trung điểm của BC)
=> ΔABM = ΔNCM ( c.g.c)
=> AB = CN ( 2 cạnh tương ứng)
∠MBA = ∠MCN (2 góc tương ứng)
Mà 2 góc này nằm ở vị trí so le trong => AB//CN
=> ∠BAC + ∠ACN =180 độ ( hai góc trong cùng phía)
=> ∠ACN = 180 độ - ∠BAC (2)
Ta có: ∠DAC= 90 độ ; ∠EAB = 90 độ
=> ∠DAC + ∠EAB =180 độ
=> ∠DAB + ∠BAC + ∠EAC + ∠BAC = 180 độ
=> (∠DAB + ∠BAC + ∠EAC) + ∠BAC= 180 độ
=> ∠DAE + ∠BAC = 180 độ
=> ∠DAE = 180 độ - ∠BAC (1)
Từ (1) và (2)
=> ∠ACN = ∠DAE
Xét ΔADE và ΔCAN có:
CN=AB= AE (chứng minh trên)
∠ACN = ∠DAE ( chứng minh trên)
AD = AC ( giả thiết)
=> ΔADE = ΔCAN ( c.g.c)
Vậy ΔADE = ΔCAN ( c.g.c)
c)
Ta có ΔADE = ΔCAN (phần b)
=> ∠CAN = ∠ADE ( 2 góc tương ứng)
∠CAN + ∠DAI = ∠DAC =90 độ
Mà ∠CAN = ∠ADE => ∠ADE+ ∠DAI = 90 độ
Xét ΔDAI có ∠ADE+ ∠DAI = 90 độ
=> ∠DIA = 90 độ
=> ΔDIA vuông tại I
AD định lí Py-ta -go lần lượt vào các ΔADI; ΔAIE có:
+) `AD^2 = AI^2 + DI^2`
`=> AI^2 = AD^2 - DI^2` `(1)`
+) `AE^2 = IE^2 + IA^2`
`=> AI^2 = AE^2 - IE^2` `(2)`
Từ `(1)` và `(2)`
`=> AE^2 - IE^2 = AD^2 - DI^2`
`=> AE^2 + DI^2 = AD^2 + IE^2`
Do đó `(AD^2+IE^2)/(DI^2 + AE^2) =1`
Vậy `(AD^2+IE^2)/(DI^2 + AE^2) =1`
