`AB=6cm;AC=8cm;BC=10cm`
`a)` Xét $∆ABC$ có:
`AB^2+AC^2=6^2+8^2=100`
`BC^2=10^2=100`
`=>AB^2+AC^2=BC^2`
`=>∆ABC` vuông tại $A$ (định lý Pytago đảo)
`=>HA^2=HB.HC` (hệ thức lượng trong tam giác vuông)(đpcm)
$\\$
$∆ABC$ vuông tại $A$
`=>\hat{BAC}=90°`
`=>\hat{EAF}=90°`
Mà `\hat{EAF}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{EF}=90°` (góc nội tiếp chắn cung $EF$)
`=>sđ\stackrel\frown{EF}=180°`
`=>EF` là đường kính của đường tròn $(H)$
`=>E;H;F` thẳng hàng (đpcm)
$\\$
`b)` Ta có: $EH=AH$ (=bán kính của $(H)$)
`=>∆AEH` cân tại $H$
`=>\hat{AEH}=\hat{EAH}`
$\\$
`\hat{EAH}=\hat{ACB}` (cùng phụ `\hat{CAH}`)
`=>\hat{AEH}=\hat{ACB}` $(1)$
`=>\hat{BEF}=\hat{BCF}`
`=>` Tứ giác $EFBC$ có hai đỉnh kề nhau $E;C$ cùng nhìn cạnh $BF$ dưới hai góc bằng nhau
`=>EFBC` nội tiếp (đpcm)
$\\$
$M$ là trung điểm $BC$ (gt)
`=>AM` là trung tuyến $∆ABC$ vuông tại $A$
`=>AM=CM=1/ 2 BC`
`=>∆ACM` cân tại $M$
`=>\hat{CAM}=\hat{ACM}=\hat{ACB}` $(2)$
$\\$
Từ `(1);(2)=>\hat{AEH}=\hat{CAM}`
$\\$
Gọi $I$ là giao điểm của $AM$ và $EF$
Ta có:
`\qquad \hat{AEI}+\hat{EAI}`
`=\hat{AEH}+\hat{BAM}`
`=\hat{CAM}+\hat{BAM}=\hat{BAC}=90°`
Xét $∆AEI$ có:
`\hat{AIE}=180°-(\hat{AEI}+\hat{EAI})=180°-90°=90°`
`=>AM`$\perp EF$ tại $I$ (đpcm)
