Không làm mất tính tổng quát, giả sử $\widehat{B} > \widehat{C}$
Xét $ΔABM$ có:
$AH$ là đường cao ứng với cạnh $BM$ $(AH\perp BM)$
$AH$ là phân giác ứng với $\widehat{BAM}$ $(\widehat{BAH} = \widehat{HAM} = \widehat{MAC})$
Do đó $ΔABM$ cân tại $A$
$\Rightarrow AH$ là trung tuyến ứng với cạnh $BM$
$\Rightarrow BH = HM = \dfrac{1}{2}BM = \dfrac{1}{2}MC$
Từ $M$ kẻ $MN\perp AC \, (N\in AC)$
Xét $ΔHAM$ và $ΔNAM$ có:
$\widehat{HAM} = \widehat{MAN} \, (gt)$
$AM:$ cạnh chung
$\widehat{H} = \widehat{N} = 90^o$
Do đó $ΔHAM=ΔNAM$ (cạnh huyền - góc nhọn)
$\Rightarrow HM = MN$
$\Rightarrow MN = \dfrac{1}{2}MC$
Xét $ΔMNC$ vuông tại $N$ có:
$MN = \dfrac{1}{2}MC \, (cmt)$
$\Rightarrow ΔMNC$ là nửa tam giác đều cạnh $MC$
$\Rightarrow \widehat{C} = 30^o$
$\Rightarrow \widehat{HAC} = 90^o - \widehat{C} = 60^o$
$\Rightarrow \widehat{HAB} = \widehat{HAM} = \widehat{MAC} = \dfrac{1}{2}\widehat{HAC} = 30^o$
$\Rightarrow \widehat{BAC} = 90^o$
$\Rightarrow ΔABC$ vuông tại $A$
Xét $ΔABM$ cân tại $A$ có:
$\widehat{BAM} = 2\widehat{HAB} = 60^o$
Do đó $ΔABM$ đều
