a)
Xét $\Delta ADE$ và $\Delta ADF$ có:
$\widehat{A_1}=\widehat{A_2}$ (do $AD$ là phân giác $\widehat{A}$)
$AD$ chung
$\widehat{AED}=\widehat{AFD}=90^o$
$\Rightarrow\Delta ADE=\Delta ADF$ (cạnh huyền-góc nhọn)
$\Rightarrow DE=DF$ (hai cạnh tương ứng bằng nhau)
$\Rightarrow\widehat{DEF}$ cân đỉnh D (1)
Lại có $\widehat A=120^o\Rightarrow\widehat{A_1}=\widehat{A_2}=\dfrac{\widehat A}2=60^o$
Mà $\Delta ADE\bot E:\widehat{A_1}+\widehat{D_1}=90^o\Rightarrow\widehat{D_1}=90^o-60^o=30^o$
$\widehat{D_1}=\widehat{D_2}=30^o$
$\Rightarrow\widehat{EDF}=\widehat{D_1}+\widehat{D_2}=60^o$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\Delta DEF$ đều.
b)
Xét $\Delta KED$ và $\Delta IFD$ có:
$\widehat{KED}=\widehat{IFD}=90^o$
$KE=IF$ (giả thiết)
$DE=DF$ (chứng minh câu a)
$\Rightarrow\Delta KED=\Delta IFD$ (hai cạnh góc vuông)
$\Rightarrow DK=DI$ (hai cạnh tương ứng bằng nhau)
$\Rightarrow \Delta DIK$ cân đỉnh D
c)
Do $AD//MC\Rightarrow\widehat{C_1}=\widehat{A_2}=60^o$ (so le trong) (3)
$\widehat{MAC}+\widehat{BAC}=180^o$ (hai góc kề bù)
$\Rightarrow\widehat{MAC}=180^o-\widehat{BAC}=60^o$ (4)
Từ (3) và (4) suy ra $\Delta MAC$ đều (đpcm)
$\Rightarrow MA=MC=AC=m$
$\Rightarrow AF=AC-CF=m-n$
$\Delta ADF\bot F$ có $\widehat{A_2}=60^o,\widehat{D_2}=30^o$
$\Rightarrow AF=\dfrac{AD}2\Rightarrow AD=2AF(m-n)$.
