Đáp án:

$AB=8cm;BC=15cm$ 

Giải thích các bước giải:

Vì `BC-BA=7cm=>BC>BA`

Trên cạnh $BC$ lấy $D$ sao cho $BD=BA$

`=>∆ABD` cân tại $B$

Mà `\hat{ABD}=60°` (gt)

`=>∆ABD` đều

`=>AB=BD=AD=x\ (x>0)`

$\\$

Vẽ $AH\perp BC$ tại $H$

Vì $∆ABD$ đều

`=>AH` đồng thời là trung tuyến của $∆ABD$

`=>H` là trung điểm $BD$

`=>HD=1/ 2 BD=x/2`

Vì $BC-BA=7$

`=>BC-BD=7=>CD=7cm`

`\qquad HC=HD+CD=x/2+7\ (cm)`

$\\$

Xét $∆AHD$ vuông tại $H$:

`=>AH^2+HD^2=AD^2` (định lý Pytago)

`=>AH^2+(x/2)^2=x^2`

`=>AH^2=x^2-(x/2)^2={3x^2}/4`

$\\$

Xét $∆AHC$ vuông tại $H$

`=>AH^2+HC^2=AC^2` (định lý Pytago)

`=>{3x^2}/4+(x/2+7)^2=13^2` `(x>0)`

`=>{3x^2}/4+{x^2}/4+7x+49=169`

`=>x^2+7x-120=0`

`=>x^2-8x+15x-120=0`

`=>x(x-8)+15(x-8)=0`

`=>(x-8)(x+15)=0`

`=>`$\left[\begin{array}{l}x-8=0\\x+15=0\end{array}\right.$`=>`$\left[\begin{array}{l}x=8\ (thỏa\ đk)\\x=-15\ (loại)\end{array}\right.$

`=>AB=x=8cm`

`\qquad BC-AB=7`

`=>BC=AB+7=8+7=15cm`

Vậy $AB=8cm;BC=15cm$

Áp dụng định lí hàm số cos của tam giác ta có:

$AC^{2}$ `=` $AB^{2}$ `+` $BC^{2}$ `-` `2``AB``AC``.``cos`$13^{2}$

`=` $AB^{2}$ `+` $BC^{2}$`-` `AB``.``BC` `(``1``)`

Ta có `:` `BC` `-` `AB` `=` `7`

`=>` `BC` `=` `7` `+` `AB` 

Thay vào `(``1``)` ta có `:`

`<=>` $AB^{2}$`+``(``7`+$AB^{2}$`)``-` `AB``(``7``+``AB``)``=`  `169`

`<=>` $AB^{2}$ `+` `49` `+` `14``AB``+`$AB^{2}$ `-` `7``AB``-` $AB^{2}$`=``169`

`<=>` $AB^{2}$`+``7``AB``-``120``=``0`

`<=>``AB``=``8` `(``cm``)`

`<=>` `BC``=``15``(``cm``)`

Vậy `AB``=` `8` `cm` ; `BC``=``15``cm`

Chúc bạn học tốt !!

@Katniss