Từ phương trình đường thẳng \({d_2}\) suy ra được vecto pháp tuyến của đường thẳng \(AC.\) Lập phương trình đường thẳng \(d\) qua \(M\) và vuông góc với \({d_1}\). Tìm giao điểm \(I\) của \(d\) và \({d_1}\), gọi \(K\) là điểm đối xứng với \(M\) qua \(I.\) Tìm được tọa độ của điểm \(K\) và lập phương trình \(AC\) đi qua \(K\) và nhận \(\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} \) làm vtpt.Giải chi tiết:
Phương trình cạnh \(AC\) vuông góc với \({d_2}:2x - y + 1 = 0\) nên có \({\vec n_{AC}} = \left( {1;2} \right)\) là VTPT của đường thẳng \(AC\). Phương trình đường thẳng \(d\) qua \(M\left( {1; - 1} \right)\) và vuông góc với \({d_1}:x + y + 2 = 0\) có dạng:\( - 1\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow - x + y + 2 = 0\) Giao điểm \(I\) của \(d\) và \({d_1}:x + y + 2 = 0\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - x + y + 2 = 0}\\{x + y + 2 = 0}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow I\left( {0; - 2} \right)\) Gọi \(K\) là điểm đối xứng của \(M\left( {1; - 1} \right)\) qua \({d_1}:x + y + 2 = 0\) thì \(K\left( { - 1; - 3} \right)\). Đường thẳng \(AC\) qua \(K\) và vuông góc với đường cao: \({d_2}:2x - y + 1 = 0\) có phương trình là \(1\left( {x + 1} \right) + 2\left( {y + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y + 8 = 0\) Chọn D