Gọi $ED\cap AC\equiv H$
Cần chứng minh H là trung điểm của AC, thật vậy:
$\Delta BDE$ cân đỉnh B do $BE=BD$ (giả thiết) $\Rightarrow\widehat{BED}=\widehat{BDE}$
$\widehat{ABD}=\widehat{BED}+\widehat{BDE}$ (tính chát góc ngoài tam giác)
$\rightarrow \widehat{ABD}=2\widehat{BDE}$
Mà $\widehat{ABD}=2\widehat{DCA}$ (giả thiết)
$\Rightarrow\widehat{BDE}=\widehat{DCA}$ $(=\dfrac{\widehat{ABD}}{2})$
Mà $\widehat{BDE}=\widehat{HDC} $ (đối đỉnh)
$\Rightarrow \widehat{DCH}=\widehat{HDC}\Rightarrow\Delta HDC$ cân đỉnh H
$\Rightarrow HD=HC$ (1)
Ta có: $\widehat{ADC}=90^o\Rightarrow\widehat{ADH}+\widehat{HDC}=90^o$
và có $\widehat{DAC}+\widehat{DCH}=90^o$
Mà $\widehat{HDC}=\widehat{DCH}$ (cmt)
$\Rightarrow \widehat{ADH}=\widehat{DAC}$ (do cùng cộng với hai góc bằng nhau $\widehat{HDC}=\widehat{DCH}$ ra $90^o$)
$\Rightarrow\Delta HAD$ cân đỉnh H $\Rightarrow HA=HA$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $HA=HC$ (=HD)
$\Rightarrow H$ là trung điểm của $AC\Rightarrow ED$ cắt $AC$ tại H là trung điểm của AC (đpcm)
