Đáp án đúng:
Giải chi tiết:
a)                 
Vì \(\widehat{AIE}+\widehat{\text{AJ}E}={{90}^{0}}+{{90}^{0}}={{180}^{0}}\Rightarrow \) tứ giác AIEJ nội tiếp.
Vì \(\widehat{CJE}=\widehat{CME}={{90}^{0}}\Rightarrow \)tứ giác CMJE nội tiếp (hai góc
cùng nhìn cạnh EC).
Vì \(\widehat{IAE}={{180}^{0}}-\widehat{BAE}=\widehat{BCE}=\widehat{MCE}\) (góc ngoài của tứ
giác nội tiếp).
Và  \(\widehat{AIE}=\widehat{CME}={{90}^{0}}.\)
\(\begin{align}  \Rightarrow \Delta AIE\sim \Delta CME(g.g) \\  \Rightarrow \frac{EA}{EC}=\frac{EI}{EM}\Rightarrow EA.EM=EI.EC\left( dpcm \right). \\ \end{align}\)
b)                  Tứ giác IEMB có: \(\widehat{BIE}+\widehat{EMB}={{90}^{0}}+{{90}^{0}}={{180}^{0}}\)
\(\Rightarrow \)Tứ giác IEMB nội tiếp \(\Rightarrow \widehat{IEM}+\widehat{MBI}={{180}^{0}}.\)  (tổng hai góc
đối diện)
Do tứ giác ABCE nội tiếp nên: \(\widehat{AEC}+\widehat{CBA}={{180}^{0}}\Rightarrow \widehat{IEM}=\widehat{AEC}\) (cùng bù với góc ABC).
\(\begin{align}  \Rightarrow \widehat{IEA}+\widehat{AEM}=\widehat{AEM}+\widehat{MEC} \\  \Rightarrow \widehat{IEA}=\widehat{MEC}. \\ \end{align}\)
Mà tứ giác IEJA nội tiếp nên: \(\widehat{IEA}=\widehat{\text{IJ}A}\) (cùng nhìn đoạn IA).
Tứ giác EJMC nội tiếp nên: \(\widehat{MEC}=\widehat{MJC}\Rightarrow \widehat{\text{IJ}A}=\widehat{MJC}\)
Lại có A, J, C thẳng hàng nên I, J, M thẳng hàng.
Tương tự có M, H, K thẳng hàng.
Xét tam giác EFC có EF là đường kính hình tròn ngoại tiếp tam giác do đó:
\(\widehat{ECF}={{90}^{0}}\Rightarrow \widehat{\text{ECJ}}+\widehat{JCF}={{90}^{0}}\)
Mặt khác:
\(\begin{align}  \widehat{\text{ACJ}}+\widehat{KFC}={{90}^{0}}\Rightarrow \widehat{\text{ECJ}}=\widehat{KFC} \\  \Rightarrow \widehat{JME}=\widehat{KMC} \\  \widehat{EMK}+\widehat{KMC}=\widehat{EMC}={{90}^{0}} \\  \Rightarrow \widehat{EMK}+\widehat{JME}=\widehat{JMK}={{90}^{0}} \\  \Rightarrow IK\bot HK\left( dpcm \right). \\ \end{align}\)
c)                  Áp dụng định lý cos và sin trong tam giác ta thu được:
\(\begin{align}  B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2AB.AC-\sin \widehat{BAC} \\  \Rightarrow B{{C}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}-bc\sqrt{3} \\ \end{align}\)
Theo định lý sin ta lại có:
\(\frac{BC}{\sin \widehat{BAC}}=2R\Rightarrow R=\frac{\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-bc\sqrt{3}}}{\sqrt{3}}\)