`a)` Xét $∆BDF$ và $∆EFD$ có:
`\hat{BDF}=\hat{EFD}` (hai góc so le trong do $EF$//$AB$)
$DF$ là cạnh chung
`\hat{BFD}=\hat{EDF}` (hai góc so le trong do $DE$//$BC$)
`=>∆BDF=∆EFD`(g-c-g)
`=>BD=EF` (hai cạnh tương ứng)
Mà $BD=AD$ (vì $D$ là trung điểm $AB$)
`=>AD=EF` (đpcm)
$\\$
`b)` Vì $DE$//$BC$ (gt)
`=>\hat{ADE}=\hat{ABC}` (hai góc đồng vị)
Vì $EF$//$AB$ (gt)
`=>\hat{EFC}=\hat{ABC}` (hai góc đồng vị)
`=>\hat{ADE}=\hat{EFC}`
Xét $∆ADE$ và $∆EFC$ có:
`\hat{ADE}=\hat{EFC}` (c/m trên)
`AD=EF` (câu a)
`\hat{DAE}=\hat{FEC}` (hai góc đồng vị do $EF$//$AB$)
`=>∆ADE=∆EFC`(g-c-g)
`=>AE=EC` (hai cạnh tương ứng)
$\\$
`c)` `∆ADE=∆EFC ` (câu b)
`=>DE=FC` (hai cạnh tương ứng)
Mà $∆BDF=∆EFD$ (câu a)
`=>FB=DE` (hai cạnh tương ứng)
`=>FB=FC`
Vì $F$ nằm hai điểm $B$ và $C$
`=>F` là trung điểm $BC$
`=>FB=FC=1/ 2 BC`
`=>DE=1/ 2 BC` (đpcm)
$\\$
Vì $BD=EF=AD$ (đã c/m câu a)
Mà $D$ là trung điểm $AB$ (gt)
`=>BD=1/ 2 AB`
`=>EF=1/ 2 AB` (đpcm)