a) $\Delta ABC$ có: $AB^2+AC^2=9^2+12^2=225=15^2=BC^2$
Theo định lí Pitago đảo
$\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại $A$.
Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta ABC$ ta có:
$\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}$
$=\dfrac{1}{9^2}+\dfrac{1}{12^2}=\dfrac{25}{1296}$
$\Rightarrow AH=7,2$
$HB^2=AB^2-AH^2=9^2-7,2^2$
$\Rightarrow HB=5,4$
$HC=15-5,4=9,6$
b) Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta$ vuông $ABC$
$\tan\widehat{ABC}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{12}{9}$
$\Rightarrow \widehat{ABC}=53,13^o$
$\Rightarrow \widehat{ABM}=26,57$
$\Rightarrow \tan\widehat{ABM}=\dfrac{AM}{AB}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{2}=\dfrac{AM}{9}$
$\Rightarrow AM=4,5$
$\Rightarrow MC=AC-AM=12-4,5=7,5$
c) Đường phân giác ngoài và phân giác trong vuông góc với nhau
$\Rightarrow BM\bot BN$
$\Rightarrow \widehat{NBA}=\widehat{NBM}-\widehat{ABM}=90^o-26,57^o=63,43$
Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta NBM$
$\tan\widehat{NBM}=\dfrac{AN}{AB}$
$\Rightarrow 2=\dfrac{AN}{9}$
$\Rightarrow AN=18$
