a) GỌi P là trung điểm BC. Ta có
$\vec{CM} = \vec{CA} + \vec{AM}$
$= \vec{CA} + \dfrac{1}{2} \vec{AG}$ (M là trung điểm AG)
$= \vec{CA} + \dfrac{1}{2} . \dfrac{2}{3} \vec{AP}$ (G là trọng tâm)
$= \vec{CA} + \dfrac{1}{3} (\vec{CP} - \vec{CA})$
$= \dfrac{2}{3} \vec{CA} + \dfrac{1}{3} . \dfrac{1}{2} \vec{CB}$
$= \dfrac{2}{3} \vec{CA} + \dfrac{1}{6} \vec{CB}$
b) Gọi $\vec{AN} = k \vec{AB}$. Khi đó
$\vec{CN} = \vec{CA} + \vec{AN}$
$= \vec{CA} + k\vec{AB}$
$= \vec{CA} + k(\vec{CB} - \vec{CA})$
$= (1-k) \vec{CA} + k\vec{CB}$
Để C, M, N thẳng thàng thì $\vec{CN}$ và $\vec{CM}$ phải cùng phương, do đó
$\vec{CN} = n\vec{CM}$
Hay
$\dfrac{1-k}{\dfrac{2}{3}} = \dfrac{k}{\dfrac{1}{6}}$
Giải ra ta được $k = \dfrac{1}{5}$.
Vậy $\vec{AN} = \dfrac{1}{5} \vec{AB}$ hay $AN = \dfrac{1}{5} AB$.
