`a)` `3\vec{MA}+4\vec{MB}=vec{0}`
`Leftrightarrow 3\vec(MA) + 3\vec{MB}+ \vec{MB} =\vec{0}`
`Leftrightarrow 9\vec{MG} + \vec{MB} = 3\vec{MC}`
`Leftrightarrow 9\vec(MG) = 3\vec(MC) + \vec(BM)`
`Leftrightarrow 9\vec(MG) = 2\vec(MC) + 2\vec(CN)`
`Leftrightarrow 9\vec(MG) = 2\vec(MN)`
`->\vec(MG)` và `vec(MN)` cùng phương
`-> M,N, G` thẳng hàng.
`b)`
Gọi `MN \cap AC = {E}`
`-> MN` chia `\DeltaABC` thành `\DeltaAEM` và tứ giác `BMEC`
`-> ` Đề yêu cầu tính `(S_(BMEC)) / (S_(\DeltaAME)) = ? `
Gọi `MK` là đường cao `\DeltaAME`
`BH` là đường cao của `\DeltaBEC`
Cách 1:
`***` Theo định lý Menelauyt với ba điểm `M, N, E` thẳng hàng, ta có:
`(EC)/(EA) . (MA)/(MB) . (NB)/(NC) = 1`
`Leftrightarrow (EC)/(EA) . 4/3 . 3 = 1`
`-> (EC)/(EA) =1/ 4`
Ta có: `(S_(BMEC))/(S_(\DeltaAME)) = (S_(\DeltaBEC)+S_(\DeltaEMB) )/(S_(\DeltaAME)) = (S_(\DeltaBEC))/(S_(\DeltaAME)) + (S_(\DeltaEMB))/(S_(\DeltaAME)) (***)`
$\bullet \,\,\,$ Ta có: `MK////BH (\botAC)`
Theo hệ quả định lý Thales, ta có: `(BH)/(MK) = (AB)/(AM) = 7/4`
`-> (S_(\DeltaBEC))/(S_(DeltaAME)) = (1/2. BH.EC)/(1/2.MK.EA) = 7/4. 1/4 = 7/16`
$\bullet \,\,\,$ `(S_(\DeltaEMB))/(S_(\DeltaAME)) = (MB)/(MA) = 3/4`
Thay vào `(***)`, ta được:
`(S_(BMEC))/(S_(\DeltaAME)) =(S_(\DeltaBEC))/(S_(\DeltaAME)) + (S_(\DeltaEMB))/(S_(\DeltaAME)) = 7/16 + 3/4 = 19/16`
Vậy: `(S_(BMEC))/(S_(\DeltaAME)) = 19/16`
Cách 2:
`***`Gọi `F` là điểm sao cho `3/4\vec(FG) + 1/2\vec(FN) = \vec(0)`
`-> 3/4\vec(FG) =- 1/2\vec(FN) -> F, G, N` thẳng hàng `(1)`
Ta có: `\vec(AC) = 3/4\vec(AG) + 1/2\vec(AN)`
`-> \vec(AC) = 3/4\vec(AF) + 1/2\vec(AF) +3/4\vec(FG) + 1/2\vec(FN) = 5/4\vec(AF)`
`-> A, F, C` thẳng hàng. `(2)`
Mặt khác: `AC \cap NG = {E} (3)`
Từ `(1), (2), (3)` suy ra: `F \equiv E`
Do đó: `\vec(AC) = 5/4\vec(AE) \Leftrightarrow 1/4\vec(AE) = \vec(EC)`
`-> (EC)/(AE) = 1/4`
Ta có: `(S_(BMEC))/(S_(\DeltaAME)) = (S_(\DeltaBEC)+S_(\DeltaEMB) )/(S_(\DeltaAME)) = (S_(\DeltaBEC))/(S_(\DeltaAME)) + (S_(\DeltaEMB))/(S_(\DeltaAME)) (***)`
$\bullet \,\,\,$ Ta có: `MK////BH (\botAC)`
Theo hệ quả định lý Thales, ta có: `(BH)/(MK) = (AB)/(AM) = 7/4`
`-> (S_(\DeltaBEC))/(S_(DeltaAME)) = (1/2. BH.EC)/(1/2.MK.EA) = 7/4. 1/4 = 7/16`
$\bullet \,\,\,$ `(S_(\DeltaEMB))/(S_(\DeltaAME)) = (MB)/(MA) = 3/4`
Thay vào `(***)`, ta được:
`(S_(BMEC))/(S_(\DeltaAME)) =(S_(\DeltaBEC))/(S_(\DeltaAME)) + (S_(\DeltaEMB))/(S_(\DeltaAME)) = 7/16 + 3/4 = 19/16`
Vậy: `(S_(BMEC))/(S_(\DeltaAME)) = 19/16`
