Giải thích các bước giải:
a.Trên tia đối của tia $FE$ lấy điểm $I$ sao cho $FE=FI$
Xét $\Delta AFI,\Delta CFE$ có:
$FA=FC$ vì $F$ là trung điểm $AC$
$\widehat{AFI}=\widehat{EFC}$ (đối đỉnh)
$FI=FE$
$\to\Delta AFI=\Delta CFE(c.g.c)$
$\to AI=EC, \widehat{FAI}=\widehat{FCE}\to AI//CE\to AI//BE$
Mà $E$ là trung điểm $BC\to EB=EC\to EB=AI$
Xét $\Delta AIE,\Delta EBA$ có:
Chung $AE$
$\widehat{IAE}=\widehat{AEB}$ vì $AI//BE$
$AI=BE$
$\to\Delta AEI=\Delta EAB(c.g.c)$
$\to EI=AB$
$\to 2EF=2AD$ vì $D,F$ là trung điểm $AB,EI$
$\to EF=AD$
b.Từ câu a $\to \widehat{AEI}=\widehat{BAE}\to EI//AB\to EF//AD$
Xét $\Delta ADG, \Delta EFG$ có:
$\widehat{GAD}=\widehat{GEF}$ vì $AD//EF$
$AD=EF$
$\widehat{GDA}=\widehat{GFE}$
$\to \Delta ADG=\Delta EFG(g.c.g)$
$\to GD=GF$
$\to G$ là trung điểm $DF$
c.Tiên tia đối của tia $EA$ lấy điểm $P$ sao cho $E$ là trung điểm $AP\to EA=EP$
Xét $\Delta AEB,\Delta PEC$ có:
$EA=EP$
$\widehat{AEB}=\widehat{CEP}$
$EB=EC$ vì $E$ là trung điểm $BC$
$\to \Delta AEB=\Delta PEC(c.g.c)$
$\to \widehat{EAB}=\widehat{EPC}\to AB//PC$
Mặt khác $CP=AB$
Xét $\Delta ACP,\Delta AMN$ có:
$AN=AC$
$\widehat{ACP}=180^o-\widehat{BAC}=360^o-90^o-90^o-\widehat{BAC}=\widehat{MAN}$
$AM=CP(=AB)$
$\to \Delta AMN=\Delta CPA(c.g.c)$
$\to \widehat{CAP}=\widehat{ANM}$
$\to \widehat{CAE}=\widehat{ANK}$
Xét $\Delta AKN, \Delta CEA$ có:
$\widehat{KNA}=\widehat{ACE}$
$AN=AC$
$\widehat{ACE}=\widehat{ACH}=90^o-\widehat{HAC}=180^o-90^o-\widehat{HAC}=\widehat{KAN}$
$\to\Delta AKN=\Delta CEA(g.c.g)$
$\to KN=AE$
Tương tự chứng minh được $KM=AE$
$\to KM=KN$
