Ta có: $D$ đối xứng $A$ qua $O$

$\Rightarrow \overrightarrow{AO} = \overrightarrow{OD}$

$\Rightarrow AD$ là đường kính

$\Rightarrow \widehat{ACD} = \widehat{ABD} = 90^o$ (nhìn đường kính $AD$)

$\Rightarrow CD\perp AC; \, BD\perp AB$

mà $BH\perp AC; \, CH\perp AB$

nên $BH//CD; \, CH//BD$

$\Rightarrow BHCD$ là hình bình hành

$\Rightarrow \overrightarrow{HB} + \overrightarrow{HC} = \overrightarrow{HD}$

Bên cạnh đó: $M$ là trung điểm đường chéo $BC$

$\Rightarrow M$ là trung điểm đường chéo $HD$

$\Rightarrow H,M,D$ thẳng hàng

$\Rightarrow HM = MD = \dfrac{1}{2}HD$

Xét $ΔAHD$ có:

$OA = OD = R$

$HM = HD \, (cmt)$

$\Rightarrow OM$ là đường trung bình

$\Rightarrow AH = 2OM$

$\Rightarrow \overrightarrow{AH} = 2\overrightarrow{OM}$

Xét $ΔAHG$ và $ΔMOG$ có:

$\widehat{HAG} = \widehat{OMG}$ (so le trong)

$\dfrac{AH}{OM} = \dfrac{AG}{GM} = 2$

Do đó $ΔAHG \sim ΔMOG \, (c.g.c)$

$\Rightarrow \widehat{AGH} = \widehat{MGO}$

mà $A, G, M$ thẳng hàng

nên $H,G,O$ thẳng hàng

Ta lại có: $\dfrac{HG}{OG} = \dfrac{AH}{OM} = 2$

$\Rightarrow HG = 2OG$

$\Rightarrow OH = 3OG$

$\Rightarrow \overrightarrow{OH} = 3\overrightarrow{OG}$

Áp dụng các đẳng thức về vector vừa chứng minh, ta được:

$+) \quad \overrightarrow{HA} + \overrightarrow{HB} + \overrightarrow{HC}$

$= \overrightarrow{HA} + \overrightarrow{HD}$

$= \overrightarrow{HO} + \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{HO} + \overrightarrow{OD}$

$ =2\overrightarrow{HO} + \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{AO}$

$= 2\overrightarrow{HO} + \overrightarrow{0}$

$=2\overrightarrow{HO}$

$+) \quad \overrightarrow{HA} - \overrightarrow{HB} - \overrightarrow{HC}$

$= \overrightarrow{HA} - (\overrightarrow{HB} + \overrightarrow{HC})$

$= \overrightarrow{HA} - \overrightarrow{HD}$

$= \overrightarrow{HO} + \overrightarrow{OA} - (\overrightarrow{HO} + \overrightarrow{OD})$

$= \overrightarrow{OA}- \overrightarrow{OD}$

$= \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{DO}$

$= 2\overrightarrow{OA}$

$+) \quad \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}$

$= \overrightarrow{OH} + \overrightarrow{HA} + \overrightarrow{OH} + \overrightarrow{HB} + \overrightarrow{OH} + \overrightarrow{HC}$

$= 3\overrightarrow{OH} + (\overrightarrow{HA} + \overrightarrow{HB} + \overrightarrow{HC})$

$= 3\overrightarrow{OH} + 2\overrightarrow{HO}$

$= \overrightarrow{OH}$