a) $I$ là điểm trên cạnh $BC$ mà: $2CI=3BI\Rightarrow\dfrac{BI}{CI}=\dfrac23$
$\Rightarrow\dfrac{BI}{CI+BI}=\dfrac2{3+2}\Rightarrow\dfrac{BI}{BC}=\dfrac25$
$\Rightarrow BI=\dfrac25BC$ tương tự $IC=\dfrac35BC$
$J$ là điểm trên $BC$ kéo dài: $5JB=2JC\Rightarrow\dfrac{JB}{JC}=\dfrac25$
$\Rightarrow\dfrac{JB}{JC-JB}=\dfrac{2}{5-2}\Rightarrow\dfrac{JB}{BC}=\dfrac23$
$\Rightarrow JB=\dfrac23BC$ và $BC=\dfrac35JC$
$\vec{AB}=\vec{AI}+\vec{IB}$
$=\vec{AI}-\dfrac25\vec{BC}$
$=\vec{AI}-\dfrac25.\dfrac32\vec{JB}$
$=\vec{AI}-\dfrac35\vec{JB}$
$=\vec{AI}-\dfrac35\left({\vec{JA}+\vec{AB}}\right)$
$=\vec{AI}+\dfrac35\vec{AJ}-\dfrac35\vec{AB}$
$\Rightarrow\vec{AB}+\dfrac35\vec{AB}=\vec{AI}+\dfrac35\vec{AJ}$
$\Rightarrow\vec{AB}=\dfrac58\vec{AI}+\dfrac38\vec{AJ}$
$\vec{AC}=\vec{AI}+\vec{IC}$
$=\vec{AI}+\dfrac35\vec{BC}$
$=\vec{AI}+\dfrac35.\dfrac35\vec{JC}$
$=\vec{AI}+\dfrac9{25}\left({\vec{JA}+\vec{AC}}\right)$
$\Rightarrow\vec{AC}-\dfrac9{25}\vec{AC}=\vec{AI}-\dfrac9{25}\vec{AJ}$
$\Rightarrow \vec{AC}=\dfrac{25}{16}\vec{AI}-\dfrac9{16}\vec{AJ}$
$\Rightarrow\dfrac52\vec{AB}=\dfrac{25}{16}\vec{AI}+\dfrac{15}{16}\vec{AJ}$
và $\vec{AC}=\dfrac{25}{16}\vec{AI}-\dfrac9{16}\vec{AJ}$
Trừ vế với vế ta có:
$\dfrac52\vec{AB}-\vec {AC}=\dfrac32\vec{AJ}$
$\Rightarrow\vec{AJ}=\dfrac{5}{3}\vec{AB}-\dfrac23\vec{AC}$
b) $\vec{AG}=\dfrac23\vec{AH}$
$=\dfrac23.\dfrac12\left({\vec{AB}+\vec{AC}}\right)$ (sử dụng quy tắc hình bình hành vào hình bình hành ABKC, H là trung điểm của BC)
$=\dfrac13\left({\dfrac58\vec{AI}+\dfrac38\vec{AJ}+\dfrac{25}{16}\vec{AI}-\dfrac9{16}\vec{AJ}}\right)$
$=\dfrac{35}{48}\vec{AI}-\dfrac{1}{16}\vec{AJ}$
