Giải thích các bước giải:
a) Ta có:
$M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$ nên $BN,CM$ là 2 trung tuyến của tam giác $ABC$ mà $BN\cap CM =G$
$\to G$ là trọng tâm tam giác $ABC$
$\to AG$ là trung tuyến ứng với cạnh $BC$ mà $AG\cap BC=I$
$\to I$ là trung điểm của $BC$ và $IG=\dfrac{1}{2}AG$
b) Xét tam giác $AEM$ và tam giác $BCM$ có:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
AM = BM\\
\widehat {AME} = \widehat {BMC}\left( {dd} \right)\\
ME = MC
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \Delta AEM = \Delta BCM\left( {c.g.c} \right)\\
\Rightarrow AE = BC;\widehat {AEM} = \widehat {BCM}\\
\Rightarrow AE = BC;AE//BC
\end{array}$
c)Gọi $H$ là điểm nằm trên tia đối của tia $MN$ sao cho $MH=MN$
Xét tam giác $BMH$ và tam giác $AMN$ có:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
BM = AM\\
\widehat {BMH} = \widehat {AMN}\left( {dd} \right)\\
MH = MN
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \Delta BMH = \Delta AMN\left( {c.g.c} \right)\\
\Rightarrow BH = AN;\widehat {MBH} = \widehat {MAN}\\
\Rightarrow BH = NC;BH//AC\\
\Rightarrow BH = NC;\widehat {NBH} = \widehat {BNC}
\end{array}$
Xét tam giác $NBH$ và tam giác $BNC$ có:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
BH = NC\\
\widehat {NBH} = \widehat {BNC}\\
BNchung
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \Delta NBH = \Delta BNC\left( {c.g.c} \right)\\
\Rightarrow NH = BC\\
\Rightarrow 2MN = BC\\
\Rightarrow MN = \dfrac{{BC}}{2}
\end{array}$
d) Ta có:
Chứng minh tương tự câu b ta có: $\Delta ANK = \Delta CNB\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow AK//BC$
Mà từ câu a ta có: $AE//BC$
Như vậy: Qua điểm $A$ có 2 đường cùng song song với $BC$
$\to E,A,K$ thẳng hàng.
