Ta có: Bổ đề về Chùm đường thẳng đồng quy
Nếu các đường thẳng đồng quy cắt hai đường thẳng song song thì chúng định ra trên hai đường thẳng song song ấy các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ
Gọi $E$ là giao điểm của $AI$ và $BC$
Ta có: $MN//BC;\, AB,AE,AC$ đồng quy tại $A$ cắt $MN$ tại $M,I,N$
Áp dụng Chùm đường thẳng đồng quy, ta được:
$\dfrac{MI}{BE} = \dfrac{NI}{CE} = \dfrac{MN}{BC}$
hay $\dfrac{MI}{NI} = \dfrac{BE}{CE};\, \dfrac{MI}{MN} =\dfrac{BE}{BC}$
Ta lại có: $MI = NI = \dfrac{1}{2}MN \quad (gt)$
$\Rightarrow BE = CE$
hay $E$ là trung điểm $BC$
$\Rightarrow AI$ đi qua trung điểm $BC$
