Lời giải:
Qua $M$ kẻ đường thẳng song song $AB$ cắt $AC,\ PC$ lần lượt tại $N,\ Q$
Xét $\triangle ABC$ có:
$\begin{cases}MB = MC =\dfrac12BC\quad (gt)\\MN//AB\end{cases}$
$\Rightarrow NA = NC =\dfrac12AC$
$\Rightarrow MN$ là đường trung bình của $\triangle ABC$
$\Rightarrow MN =\dfrac12AB = \dfrac32AP$
Xét $\triangle APC$ có:
$\begin{cases}MA = MC =\dfrac12AC\quad (cmt)\\QN//AP\end{cases}$
$\Rightarrow QP = QC =\dfrac12PC$
$\Rightarrow QN$ là đường trung bình của $\triangle APC$
$\Rightarrow QN =\dfrac12AP$
Ta được:
$MQ = MN - QN = \dfrac32AP - \dfrac12AP = AP$
Khi đó:
$\dfrac{AG}{GM}=\dfrac{AP}{MQ}=1$ (định lý $Thales$)
$\Rightarrow AG = GM$
$\Rightarrow G$ là trung điểm $AM$
