A B C M N K I Q
\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BM}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{NC}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{NM}\right)+\)\(\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{MC}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BN}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{MC}+\dfrac{5}{6}\overrightarrow{NM}\).
Ta cần biểu diễn \(\overrightarrow{NM}\) theo hai véc tơ \(\overrightarrow{CM},\overrightarrow{BN}\).
Gọi I là giao điểm của CM và BN, Q là trung điểm của AN.
MQ là đường trung bình của tam giác ABN nên \(MQ=\dfrac{1}{2}BN\).
Do N là trung điểm của QC và IN // MQ nên I là trung điểm của MC.
Suy ra IN là đường trung bình của tam giác QMC và \(IN=\dfrac{1}{2}MQ\).
Mặt khác \(MQ=\dfrac{1}{2}BN\) nên \(MQ=\dfrac{1}{2}BN\).
Suy ra \(IN=\dfrac{1}{4}BN\).
Vì vậy \(\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{NI}+\overrightarrow{IM}=-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BN}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CM}\).
Từ đó ta có:
\(\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BN}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{MC}+\dfrac{5}{6}\overrightarrow{NM}\)\(=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BN}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{MC}-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BN}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CM}\)
\(=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BN}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CM}-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BN}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CM}\)
\(=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BN}+\dfrac{1}{6}\overrightarrow{CM}\).