`a)` Ta có:
`\hat{BEC}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
`=>BE`$\perp AC$
`=>\hat{BEA}=90°=>\hat{HEA}=90°`
`\hat{BFC}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
`=>CF`$\perp AB$
`=>\hat{CFA}=90°=>\hat{HFA}=90°`
`=>\hat{HEA}+\hat{HFA}=180°`
`=>` Tứ giác $AEHF$ nội tiếp (đpcm)
Xét $∆DBH$ và $∆DAC$ có:
`\hat{BDH}=\hat{ADC}=90°`
`\hat{DBH}=\hat{DAC}` (cùng phụ `\hat{DCA}`)
`=>∆DBH∽∆DAC`(g-g)
`=>{DB}/{DA}={DH}/{DC}`
`=>DB.DC=DH.DA` (đpcm)
$\\$
`b)` Vì $BE\perp AC;CF\perp AB$
`=>`$BE;CF$ là hai đường cao của $∆ABC$
Mà $BE;CF$ cắt nhau tại $H$
`=>H` là trực tâm $∆ABC$
`=>AD`$\perp BC$
`=>\hat{HDB}=90°`
`=>\hat{HFB}+\hat{HDB}=90°+90°=180°`
`=>` Tứ giác $BDHF$ nội tiếp
`=>\hat{HFD}=\hat{HBD}` (cùng chắn cung $HD$)
`=>\hat{CFD}=\hat{EBC}`
Vì `\hat{EBC}=\hat{EFC}` (cùng chắn cung $EC$)
`=>\hat{CFD}=\hat{EFC}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{EC}`
Mà tia $FC$ nằm giữa hai tia $FD$ và $FE$
`=>FC` là phân giác của `\hat{DFE}`
`=>\hat{DFE}=2\hat{EFC}`
Ta lại có:
`\hat{EOC}=sđ\stackrel\frown{EC}` (góc ở tâm chắn cung $EC$)
`=>\hat{EOC}=2\hat{EFC}`
`=>\hat{DFE}=\hat{EOC}`
`=>` Tứ giác $EFDO$ nội tiếp (đpcm)
`=>\hat{FDO}+\hat{FEO}=180°` $(1)$
Mà $∆OEF$ cân tại $O$ (vì $OE=OF=R$)
`=>\hat{FEO}=\hat{EFO}` $(2)$
Ta có:
`\hat{MFO}+\hat{EFO}=180°` (kề bù) $(3)$
Từ `(1);(2);(3)=>\hat{MFO}=\hat{FDO}`
Xét $∆MFO$ và $∆FDO$ có:
`\hat{O}` chung
`\hat{MFO}=\hat{FDO}` (c/m trên)
`=>∆MFO∽∆FDO` (g-g)
`=>{MO}/{FO}={FO}/{DO}`
`=>DO.MO=FO^2=R^2` (đpcm)
$\\$
`c)` Ta có:
`\qquad DO.DM=DO.(MO-DO)`
`=DO.MO-DO^2=R^2-DO^2`
`=OB^2-OD^2=(OB-OD).(OB+OD)`
`=DB.(OC+OD)=DB.DC=DH.DA` (câu a)
`=>DH.DA=DO.DM` (đpcm)
`=>{DO}/{DA}={DH}/{DM}`
Xét $∆ODH$ và $∆ADM$ có:
`\hat{ODH}=\hat{ADM}=90°`
`{DO}/{DA}={DH}/{DM}` (c/m trên)
`=>∆ODH∽∆ADM` (c-g-c)
`=>\hat{DOH}=\hat{DAM}`
`=>\hat{MON}+\hat{OMN}=\hat{DOH}+\hat{DMA}`
`=\hat{DAM}+\hat{DMA}=90°`
`=>\hat{MNO}=180°-(\hat{MON}+\hat{OMN})=180°-90°=90°`
`=>∆OMN` vuông tại $N$
`=>ON`$\perp AM$
`=>\hat{ANH}=90°`
`=>\hat{ANH}=\hat{AFH}=\hat{AEH}=90°`
`=>` $5$ điểm $A;N;F;H;E$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AH$ (đpcm)
