a)
$\Delta ACE$ nội tiếp $\left( O \right)$ có $AE$ là đường kính
$\to \widehat{ACE}=90{}^\circ $
Xét $\Delta ABD$ và $\Delta AEC$, ta có:
$\widehat{ABD}=\widehat{AEC}$ ( cùng chắn $\overset\frown{AC}$ trong tứ giác $ABEC$ nội tiếp $\left( O \right)$ )
$\widehat{ADB}=\widehat{ACE}=90{}^\circ $
$\to \Delta ABD\sim \Delta AEC\,\,\left( \,g\,.\,g\, \right)$
$\to \dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AD}{AC}$
$\to \dfrac{AB.AC}{AD}=AE$
Mà $AE=2R$ ( vì $AE$ là đường kính )
Vậy $\dfrac{AB.AC}{AD}=2R$
b)
Vì $\Delta ABD\sim \Delta AEC$ ( cmt )
$\to \widehat{BAD}=\widehat{EAC}$
$\to \widehat{BAD}+\widehat{DAE}\,=\,\widehat{EAC}+\widehat{DAE}$
$\to \widehat{BAE}\,=\,\widehat{CAD}\,\,\,\left( 1 \right)$
Mặt khác, ta có:
$BE=CF$ ( gt )
$\to\overset\frown{BE}=\overset\frown{CF}$
$\to \widehat{BAE}=\widehat{CAF}\,\,\,\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, ta có được:
$\widehat{CAD}=\widehat{CAF}$
$\to AD\equiv AF$
$\to $ ba điểm $A,D,F$ thẳng hàng
$\Delta AFE$ nội tiếp $\left( O \right)$ có $AE$ là đường kính
$\to \Delta AFE$ vuông tại $F$
$\to AF\bot FE$
$\to AD\bot FE$
Mà $AD\bot BC$
Nên $BC\,\,||\,\,FE$
$\to BCEF$ là hình thang:
Có $BE=CF$ ( gt )
Vậy $BCEF$ là hình thang cân
