a) Sử dụng tam giác đồng dạng, tứ giác nội tiếp để bắc cầu gócb) Vận dụng định lý Ta – lét và tính chất đường phân giác trong, phân giác ngoài của tam giácc) Ta sẽ chứng minh \(H\) là trực tâm tam giác \(AKM\) thông qua các bổ đề quen thuộcGiải chi tiết:a) Tứ giác \(BFEC\) nội tiếp và \(\Delta KBF \sim \Delta KEC\)Khi đó \(\frac{{KF}}{{KC}} = \frac{{KB}}{{KE}} \Rightarrow KB.KC = KE.KF\)Tứ giác \(BDHF\) nội tiếp , suy ra \(\widehat {FBH} = \widehat {FDH} & (1)\)Tứ giác \(CDHE\) nội tiếp, suy ra \(\widehat {HDE} = \widehat {HCE} & (2)\)Ta có: \(\widehat {FBE} = \widehat {FCE}\left( 3 \right)\)(tứ giác \(BFEC\) nội tiếp)Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right) \Rightarrow \widehat {FDH} = \widehat {EDH} \Rightarrow HD\) là phân giác của \(\widehat {FDE} & (4)\)Chứng minh tương tự, ta được:\(HE\) là phân giác của \(\widehat {FED}\left( 5 \right)\)Từ (4) và (5) \( \Rightarrow H\) là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta DEF\)b) Gọi \(N\) là giao điểm của \(AD,KE\)Theo tính chất đường phân giác trong của \(\Delta DEF \Rightarrow \frac{{NF}}{{NE}} = \frac{{DF}}{{DE}}\left( 6 \right)\)Ta có \(KD\) là phân giác ngoài của \(\Delta FDE\) tại đỉnh \(D\). Theo tính chất đường phân giác ngoài của \(\Delta DEF \Rightarrow \frac{{KF}}{{KE}} = \frac{{DF}}{{DE}}\left( 7 \right)\)Từ (6) và(7) \( \Rightarrow \frac{{NF}}{{NE}} = \frac{{KF}}{{KE}}\left( 8 \right)\)Vì \(PQ{\rm{ // }}AC\), theo định lý Ta – let ta có:\(\frac{{NF}}{{NE}} = \frac{{FQ}}{{AE}}\)và \(\frac{{KF}}{{KE}} = \frac{{FP}}{{AE}}\left( 9 \right)\)Từ (8) và (9) \( \Rightarrow \frac{{FQ}}{{AE}} = \frac{{FP}}{{AE}} \Rightarrow FQ = FP\)c) Gọi \(I\) là giao điểm của \(KA\) với đường tròn \(\left( O \right)(I\) khác \(A\)) và \(A'\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(O\). Chứng minh được \(BHCA'\) là hình bình hành (bổ đề quen thuộc)Suy ra ba điểm \(H,M,A'\) thẳng hàngVì tứ giác \(AIBC\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right) \Rightarrow KI.KA = KB.KC\)Theo câu 1) thì \(KB.KC = KF.KE\)Suy ra \(KI.KA = KF.KE \Rightarrow AIFE\) là tứ giác nội tiếpVì ba điểm \(A,E,F\) thuộc đường tròn đường kính \(AH \Rightarrow I\) thuộc đường tròn đường kính \(AH\)\( \Rightarrow AI \bot HI\)Ta có \(\widehat {AIA'} = {90^0} \Rightarrow AI \bot A'I\)Kết hợp với \(AI \bot HI \Rightarrow H,I,A'\) thẳng hàngMặt khác ba điểm \(H,M,A'\) thẳng hàng nên 4 điểm \(H,M,I,A'\) thẳng hàngXét \(\Delta AKM\)có \(AH \bot KM\)và \(MH \bot AK \Rightarrow H\)là trực tâm \(\Delta AKM\)Suy ra \(KH \bot AM\)
