a) Xét tứ giác $BCEF$ có:
$\widehat{BFC} = \widehat{BEC} = 90^o$
$\Rightarrow BCEF$ là tứ giác nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{CFE} = \widehat{CBE}$ $(1)$
Xét tứ giác $ACDF$ có:
$\widehat{AFC} = \widehat{ADC} = 90^o$
$\Rightarrow ACDF$ là tứ giác nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{CAD} = \widehat{CFD}$ $(2)$
Ta lại có: $\widehat{CBE} = \widehat{CAD}$ (cùng phụ $\widehat{ACB}$ $(3)$
Từ $(1)(2)(3) \Rightarrow \widehat{CFE} = \widehat{CFD}$
$\Rightarrow FC$ là phân giác của $\widehat{DFE}$
Chứng minh tương tự, ta được:
$EB$ là phân giác của $\widehat{FED}$
$AD$ là phân giác của $\widehat{FDE}$
$FC, EB, AD$ cắt nhau tại $H$ $(gt)$
$\Rightarrow H$ là tâm đường tròn nội tiếp $ΔDEF$
b) Ta có: $BCEF$ là tứ giác nội tiếp
$\widehat{BEC} = \widehat{BFC} = 90^o$
$\Rightarrow BC$ là đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BCEF$
$\Rightarrow M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BCEF$
Ta lại có: $I$ là trung điểm dây cung $EF$
$\Rightarrow MI\perp EF$
$\Rightarrow MI$ là trung trực của $EF$
Chứng minh tương tự, ta được: $PK$ là trung trực của $ED$
$NQ$ là trung trực của $FD$
$\Rightarrow MI, NQ, PK$ đồng quy
