Đáp án:
Giải thích các bước giải:
b/ Gọi $AF$ là đường cao $ΔABC$
Xét $ΔABF$ và $ΔCBE$
Có: $\widehat{ABF}$ chung
$\widehat{BFA}=\widehat{BEC}$ $(=90^0)$
$⇒ ΔABF \backsim ΔCBE$
$⇒ \dfrac{BF}{BE}=\dfrac{AB}{BC}$
$⇒ BE.AB=BF.BC$
Tương tự: $CD.AC=CF.BC$
$⇒ BE.AB+CD.AC=BF.BC+CF.BC=(BF+CF).BC=BC^2$
c/ Tương tự câu $a$: $ΔABD \backsim ΔACE$
$⇒ \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AD}{AE}$
Xét $ΔAED$ và $ΔACB$
Có: $\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{AB}{AC}$
$\widehat{EAD}$ chung
$⇒ ΔAED \backsim ΔACB$
$⇒ \widehat{AED}=\widehat{ACB}$
$⇒ 90^0-\widehat{AED}=90^0-\widehat{ACB}$
$⇒ \widehat{DEH}=\widehat{HBC}$
Xét $ΔHED$ và $ΔHBC$
Có: $\widehat{EHD}=\widehat{BHC}$ (đối đỉnh)
$\widehat{DEH}=\widehat{CBH}$ (chứng minh trên)
$⇒ ΔHED \backsim ΔHBC$
d/ $ΔABC$ đều $BD$ là đường cao
$⇒ BD$ cũng là đường phân giác $\widehat{ABC}=60^0$
$⇒ \widehat{EBH}=30^0$
$\dfrac{EH}{BH}=\sin30^0=\dfrac{1}{2}$
Có: $ΔHED \backsim ΔHBC$
$⇒ \dfrac{S_{HED}}{S_{HBC}}=\dfrac{EH^2}{BH^2}=\dfrac{1}{4}$
$⇒ S_{HED}=\dfrac{1}{4}.S_{HBC}$ $(1)$
Do $ΔABC$ đều nên $H$ cũng là trọng tâm $Δ$
$⇒ \dfrac{AF}{HF}=3$
$ΔABC$ và $ΔHBC$ có cùng đáy $BC$
$⇒ \dfrac{S_{ABC}}{S_{HBC}}=\dfrac{AF}{HF}=3$
$⇒ S_{ABC}=3.S_{HBC}$ $(2)$
Từ $(1), (2)$ suy ra: $\dfrac{S_{HED}}{S_{ABC}}=\dfrac{1}{12}$
